H∞-ovládání

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. července 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

H v nekonečnu nebo je metoda teorie řízení pro syntézu optimálních regulátorů . Metoda je optimalizační , která se zabývá rigorózním matematickým popisem očekávaného chování uzavřeného systému a jeho stability . Metoda je pozoruhodná svým přísným matematickým základem, optimalizační povahou a použitelností pro klasické i robustní řízení. ${\mathcal {H}}_{\infty }$

${\mathcal {H}}$ je normou v Hardyho prostoru . "Nekonečno" odkazuje na splnění podmínek minimaxu ve frekvenční doméně . je norma dynamického systému, která má význam maximálního zisku systému z hlediska energie. V případě MIMO systémů se rovná maximální singulární hodnotě přenosové funkce systému, v případě SISO systémů se rovná maximální hodnotě amplitudy jeho frekvenční charakteristiky . ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Prohlášení o problému

Nejprve je třeba systém uvést do standardní podoby:

Řídicí objekt má dva vstupy, dva vnější vlivy , mezi které patří referenční signál a poruchy. Řízená proměnná je označena . Jedná se o vektor výstupního signálu systému, který se skládá z chybového signálu , který má být minimalizován, a měřené veličiny , která se používá v regulační smyčce. používá se v K k počítání proměnné . $\ P$ $\w$ $\u$ $\z$ $\proti$ $\proti$ $\u$

Systémová rovnice:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_ {11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{ bmatrix}}

u=K(s)\,v

Je tedy možné vyjádřit závislost na : $\z$ $\w$

z=F_{l}(P,K)\,w

A dál:

F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Cílem -optimal control je tedy syntetizovat takový regulátor , , který by minimalizoval -normu systému. Totéž platí pro management. Norma v nekonečnu matice je definována jako: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ $\K$ $\ F_{l}(P,K)$ ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\mathcal {H}}_{2}$ $\ F_{l}(P,K)$

||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\ omega))

kde je maximální singulární hodnota matice . ${\bar {\sigma ))$ $\ F_{l}(P,K)(j\omega )$

Takto nalezený ovladač je optimální v -smyslu. Existuje také řada aplikací, ve kterých se řeší tzv. „ problém s malým ziskem “ . V rámci tohoto úkolu je nutné najít kontrolora, který by splnění podmínky zajistil ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

Tato úloha je někdy také označována jako "standardní -kontrolní úloha". ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Výhody a nevýhody

H∞-control má ve srovnání s jinými metodami robustní syntézy regulátorů několik vlastností. Mezi výhody patří:

Metoda pracuje se stabilitou a citlivostí systému.
Jednoduchý jednokrokový algoritmus.
Přesné tvarování výstupní frekvenční charakteristiky.

Mezi nevýhody patří skutečnost, že metoda vyžaduje věnovat zvláštní pozornost parametrické robustnosti řídicího objektu.

Vlastnosti ovladače ${\mathcal {H}}_{\infty }$

1. Váhovou funkcí -optimálního regulátoru je fázový filtr , tj. pro nejmenší singulární hodnotu systému je splněn vztah: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\bar {\sigma \ }}$

{\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1

pro každého

\omega \ \in R

2. -optimal controller má maximální pořadí , kde je pořadí řídícího objektu . ${\mathcal {H}}_{\infty }$ $\n-1$ $\n$

Podmínky pro existenci -controllerů ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Aby -controller existoval ve standardní úloze: ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

je nutné a postačující, aby byly splněny následující podmínky:

1. Reprezentujeme uzavřený systém ve formě rovnic ve stavovém prostoru :

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Musí existovat zákon proporcionálního řízení , aby největší singulární hodnota matice uzavřeného systému vyhovovala nerovnosti $\ F(s)=K$ $\D$ $\sigma _{n}\ (D)<1$

2. Riccatiho rovnice pro řízení

Riccatiho rovnice pro řízení stavu musí mít reálné, pozitivně-definitivní řešení . $P\geq 0$

3. Riccatiho rovnice pro pozorovatele

Riccatiho rovnice pro pozorovatele pracujícího v tandemu s regulátorem musí mít reálné, pozitivně-definitivní řešení . $S\geq 0$

4. Omezení vlastních čísel:

Největší vlastní hodnota součinu dvou řešení (pro regulátora a pozorovatele) Riccatiho rovnic musí být menší než jedna: $\lambda _{max}(PS)<1$

Viz také

robustní ovládání

Bibliografie

Egupov N. D., Pupkov K. A. Metody klasické a moderní teorie automatického řízení. Syntéza regulátorů automatických řídicích systémů. V 5 sv. Vol.3, Ed.2. 2004,616 s.
R.Y. Chiang, Moderní robustní teorie řízení. Ph. D. Disertační práce: USC, 1988.