Q-analog
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. ledna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .Q -analog teorému , identity nebo výrazu je zobecnění zahrnující nový parametr q , který vrací původní teorém, identitu nebo výraz v limitě jako q → 1 . Obvykle se matematici zajímají o q -analogy, které se vyskytují přirozeně, spíše než o vymýšlení libovolných q -analogů pro známé výsledky. Nejstarší q -analogy jsou základní hypergeometrické řady , které byly studovány v 19. století [1] .
Q -analogy se nejčastěji používají v kombinatorice a v teorii speciálních funkcí . Za těchto podmínek je limita q → 1 často formální, protože q je často diskrétní (například může představovat mocninu prvočísla ). Q -analogy mají aplikace v mnoha oblastech, včetně studia fraktálů a multifraktálních mír a pro vyjádření entropie chaotických dynamických systémů . Spojení s fraktály a dynamickými systémy vyplývá ze skutečnosti, že mnoho fraktálových objektů má symetrie fuchsovských grup obecně (viz např. práce "Indrovy perly" " Apollónova mřížka ") a modulární grupy zvláště . Spojení probíhá přes hyperbolickou geometrii a ergodickou teorii , kde hlavní roli hrají eliptické integrály a modulární formy . q -řada [ sama o sobě úzce souvisí s eliptickými integrály.
Q -analogy se objevují při studiu kvantových grup a v q -perturbed superalgebrách . Spojení je zde podobné tomu, jak je konstruována teorie strun v jazyce Riemannových ploch , což vede ke spojení s eliptickými křivkami , které zase souvisí s q - řadami .
"Klasická" q - teorie
Klasická q -teorie začíná q -analogy pro nezáporná celá čísla [2] . Rovnost
navrhuje, abychom definovali q -analog čísla n , známý jako q -závorka nebo q - číslo čísla n , jako
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
Volba tohoto konkrétního q -analogu mezi jinými možnostmi nemá jednoznačný důvod, ale analog přirozeně vzniká v několika kontextech. Pokud se například rozhodneme použít označení [ n ] q pro q - analog čísla n , můžeme definovat q - analog faktoriálu , který je známý jako q - faktoriál , následovně
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}} \cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9aca08867b8fd46c5c717a2a8aca39c294faf0)
Tento q -analog se přirozeně objevuje v několika kontextech. Je pozoruhodné, že zatímco n ! počítá počet permutací délky n , [ n ] q ! počítá permutace s přihlédnutím k počtu inverzí . To znamená, že pokud inv( w ) znamená počet inverzí permutace w a Sn je množina permutací délky n , máme
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdbf42b3988d54e8a3997462fbf86ee1efc88fa)
Obvyklý faktoriál můžete získat zejména přechodem na limit .
Q -faktoriál je také stručně definován pomocí Pochhammerova q -symbolu , základního stavebního kamene všech q -teorií:
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e12939e2d9c21567ce00527543674ba70d6)
Od q-faktoriálů lze přejít ke q - binomickým koeficientům , také známým jako Gaussovy koeficienty, Gaussovy polynomy nebo Gaussovy binomické koeficienty :
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
Q -stupeň je definován jako
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
Trigonometrické q -funkce spolu s q -Fourierovou transformací jsou definovány ve stejném kontextu.
Q -analogy v kombinatorice
Gaussovy koeficienty počítají podprostory konečného vektorového prostoru . Nechť q je počet prvků konečného tělesa (Číslo q se pak rovná mocnině prvočísla , q = p e , takže použití písmene q je rozumné). Potom je počet k - rozměrných podprostorů n - rozměrného vektorového prostoru nad polem s q prvky
Protože q má tendenci k 1, dostaneme binomický koeficient
nebo jinými slovy, počet k -prvkových podmnožin množiny s n prvky.
Konečný vektorový prostor tedy můžeme považovat za q - zobecnění množiny a podprostory za q - zobecnění podmnožin této množiny. Toto je plodný pohled na hledání zajímavých vět. Například existují q -analogy Spernerovy věty a Ramseyho teorie .
q → 1
Inverzně k tomu, abychom nechali q změnit se a považovali q -analogy za odchylky, lze považovat kombinatorický případ q = 1 za limitu q -analogů q → 1 (často není možné do vzorce jednoduše dosadit q = 1 , takže člověk musí vzít limit).
To lze formalizovat v poli s jedním prvkem , kde je kombinatorika reprezentována jako lineární algebra nad polem s jedním prvkem. Například Weylovy grupy jsou jednoduše algebraické grupy nad polem s jedním prvkem.
Aplikace ve fyzice
Q -analogy se často nacházejí v přesných řešeních problémů mnoha těles. V takových případech limita jako q → 1 odpovídá relativně jednoduché dynamice, tj. bez nelineárních poruch, zatímco q < 1 umožňuje nahlédnout do komplexního nelineárního zpětnovazebního režimu.
Příkladem z atomové fyziky je model vytváření molekulárního kondenzátu z ultrachladného fermionického plynu za podmínek vymetání vnějšího magnetického pole pomocí Feshbachovy rezonance [3] . Tento proces je popsán modelem s q -perturbed verzí operátorové algebry SU(2) a řešení je popsáno q -perturbed exponenciálním a binomickým rozdělením .
Viz také
- Seznam q -analogů
- Stirlingova čísla
- Mladý diagram
Poznámky
- ↑ Exton, 1983 .
- ↑ Ernst, 2003 , str. 487–525.
- ↑ Sun, Sinitsyn, 2016 , str. 033808.
Literatura
- Exton H. q-Hypergeometrické funkce a aplikace. - New York: Halstead Press, 1983. - ISBN 0853124914 . — ISBN 0470274530 . — ISBN 978-0470274538 .
- Thomas Ernst. Metoda q-kalkulu // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2003. - T. 10 , no. 4 . — S. 487–525 .
- Sun C., Sinitsyn NA Landau-Zenerovo rozšíření Tavis-Cummingsova modelu: Struktura řešení // Phys. Rev. A. _ - 2016. - T. 94 , č.p. 3 . - doi : 10.1103/PhysRevA.94.033808 . — .
Odkazy
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Umbral kalkul , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
- q -analog z MathWorld
- q -bracket z MathWorld
- q -factorial z MathWorld
- q -binomický koeficient z MathWorld