Algebra množin

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Algebra množin v teorii množin je neprázdný systém podmnožin nějaké množiny , uzavřený operacemi sčítání (rozdíl) a sjednocení (součet) . $X$

Definice

Rodina podmnožin množiny (zde boolean ) se nazývá algebra, pokud splňuje následující vlastnosti: ${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$ $X$ $2^{{X}}$

$\varnothing \in {\mathfrak {A}).$
Pokud je množina , pak její doplněk $A\in {\mathfrak {A}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
Spojení dvou množin také patří $A,B\in {\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}).$

Poznámky

Podle definice, pokud algebra obsahuje množinu , pak obsahuje také její doplněk. Spojení s jeho doplňkem je původní sada . Doplňkem množiny je prázdná množina. To znamená, že množina a prázdná množina jsou obsaženy v algebře podle definice. $A$ $A$ $X$ $X$ $X$
Díky vlastnostem operací na množinách je i algebra množin uzavřená pod průnikem a symetrickým rozdílem .
Množinová algebra je speciální případ algebry jednoty , kde operace „násobení“ je průnikem množin a operace „sčítání“ je symetrický rozdíl.
Pokud je původní množinou prostor elementárních událostí , pak se algebra nazývá algebra událostí - klíčový koncept teorie pravděpodobnosti a příbuzných matematických disciplín, který má jedinečný výklad a hraje v matematice samostatnou roli. $X$ ${\mathfrak {A}}$

Algebra událostí

Algebra událostí (v teorii pravděpodobnosti ) je algebra podmnožin prostoru elementárních událostí , jejichž prvky jsou elementárními událostmi . $\Omega$

Jak se sluší na množinovou algebru, algebra událostí obsahuje nemožný jev ( prázdná množina ) a je uzavřena operacemi teorie množin prováděnými na konečném počtu množin. Stačí požadovat, aby algebra událostí byla uzavřena pod dvěma operacemi, například průnikem a doplněním , z čehož okamžitě vyplývá, že je uzavřena pod jakýmikoli jinými operacemi teorie množin. Algebra událostí , která je uzavřená s ohledem na operace teorie množin prováděné s početným počtem množin, se nazývá sigma-algebra událostí.

V teorii pravděpodobnosti se vyskytují následující algebry a sigma-algebry událostí:

algebra konečných podmnožin ; $\Omega$
sigma-algebra spočetných podmnožin ; $\Omega$
podmnožinová algebra tvořená konečnými sjednoceními intervalů ; ${{\mathbb {R}}}^{n}$
sigma algebra Borelových podmnožin topologického prostoru , tj. nejmenší sigma algebra obsahující všechny otevřené podmnožiny ; $\Omega$ $\Omega$
algebra válců v prostoru funkcí a jimi generovaná sigma-algebra.

Událost nebo , která spočívá v tom, že nastane alespoň jedna z těchto dvou událostí, se nazývá součet událostí a . $A+B$ $A\pohár B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Pravděpodobnostní prostor je algebra událostí s danou pravděpodobnostní funkcí , tedy sigma-aditivní konečná míra , jejíž doménou je algebra událostí, kde . $\mathbb {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Jakákoli sigma-aditivní pravděpodobnost na algebře událostí se jednoznačně rozšiřuje na sigma-aditivní pravděpodobnost definovaná na sigma-algebře událostí generovaných danou algebrou událostí .

Viz také

Literatura

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.