Nekonečně dělitelné rozdělení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. října 2018; kontroly vyžadují 6 úprav .

Nekonečně dělitelné rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení náhodné veličiny takové, že může být reprezentováno jako libovolný počet nezávislých, rovnoměrně rozdělených členů.

Definice

O náhodné veličině se říká, že je nekonečně dělitelná, pokud pro kteroukoli může být reprezentována ve tvaru $Y$ $n\in \mathbb {N}$

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)))

kde jsou nezávislé , identicky rozdělené náhodné proměnné. ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n))$

Vlastnosti nekonečně dělitelných rozdělení

Charakteristická funkce nekonečně dělitelné náhodné veličiny má tvar: $\phi _{Y}(t)$ $Y$

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

Charakteristická funkce nekonečně dělitelného rozdělení nezaniká.
Distribuční funkce součtu nezávislých náhodných veličin s nekonečně dělitelnými distribučními funkcemi je také nekonečně dělitelná.
Distribuční funkce, která je limitující pro posloupnost nekonečně dělitelných distribučních funkcí, je nekonečně dělitelná.

Kanonické reprezentace nekonečně dělitelných rozdělení

Kolmogorovova věta

Aby distribuční funkce s konečným rozptylem byla nekonečně dělitelná, je nutné a postačující, aby logaritmus její charakteristické funkce měl tvar: $\Phi (x)$ $\phi (t)$

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2} }}dG(x)

kde je skutečná konstanta a je neklesající funkcí ohraničené variace, je integrál chápán v Lebesgue-Stieltjesově smyslu . $\gamma$ $G(x)$

Levy-Khinchinův vzorec

Dovolit je charakteristická funkce nekonečně dělitelného rozdělení na . Pak existuje neklesající funkce omezené variace taková, že $\phi (t)$ $\mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+ u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)

Příklady

Následující rozdělení jsou nekonečně dělitelná: Cauchyho rozdělení , Poissonovo rozdělení , normální rozdělení , gama rozdělení .

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor , kde $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

pro některé . Pak náhodná proměnná mající tvar $\lambda>0$ $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

není nekonečně dělitelná.

Nekonečně dělitelná distribuce na lokálně kompaktních abelovských skupinách

O distribuci na lokálně kompaktní abelovské grupě se říká, že je nekonečně dělitelné, pokud pro každou přirozenou existuje prvek a rozložení na takové, že , kde je degenerované rozdělení soustředěné v (viz [1] , [2] ). $\mu$ $X$ $n$ $x_{n}\in X$ $\mu _{n}$ $X$ $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n))$ $E_{x_{n))$ $x_{n}$

Příklady nekonečně dělitelných rozdělení na lokálně kompaktních abelovských grupách jsou degenerovaná rozdělení, posuny Haarových rozdělení kompaktních podgrup, zobecněná Poissonova rozdělení .

Viz také

Stabilní distribuce .

Literatura

B.V. Gnedenko Course of Probability Theory, Moskva, Nauka, 1965, 400 stran.

Poznámky

↑ K. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan, „Distribuce pravděpodobnosti na lokálně kompaktních abelovských skupinách“, Mathematics , 9 :2 (1965), ( Parthasarathy, KR ; Rao, RR ; Varadhan , SRS Archived 26. srpna 2020 Distribuce strojové pravděpodobnosti na lokálně kompaktních abelovských skupinách Ill. J. Math 7, 337-369 (1963) Archivováno 26. srpna 2020 na Wayback Machine )
↑ Parthasarathy KR Pravděpodobnostní míry na metrických prostorech. Pravděpodobně. Matematika. statista. - 3. - New York - Londýn: Academic Press, 1967.