Vektorový potenciál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Ve vektorové analýze je vektorový potenciál vektorové pole , jehož rotor se rovná danému vektorovému poli. Je analogický ke skalárnímu potenciálu , který je definován jako skalární pole, jehož gradient je roven danému vektorovému poli.

Formálně, jestliže je vektorové pole, vektorový potenciál je vektorové pole takové, že $\mathbf{v}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {v}}=\nabla \times {\mathbf {A}}.

Jestliže je vektorový potenciál pro pole , pak z identity $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0

( rozbíhavost rotoru je nulová).

\nabla \cdot {\mathbf {v}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0,

to znamená, že musí být solenoidální vektorové pole . $\mathbf{v}$

Pro každé solenoidové vektorové pole, které splňuje určité podmínky, existuje vektorový potenciál. Zejména jeho existence závisí na oblasti, na které je pole definováno – v případě vícenásobně spojené oblasti potenciál vírového pole obvykle neexistuje.

Věta

Nechat

{\mathbf {v}):{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}

je dvakrát spojitě diferencovatelné solenoidové vektorové pole . Předpokládejme, že klesá dostatečně rychle pro . Pojďme definovat $\mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)$ $\|\mathbf {x} \|\rightarrow \infty$

\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .

Potom je vektorový potenciál pro , tj. $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\nabla \times {\mathbf {A}}={\mathbf {v}}.

Zobecněním této věty je Helmholtzův rozklad , podle kterého lze libovolné vektorové pole reprezentovat jako součet solenoidálního vektorového pole a irrotačního vektorového pole .

Nejednoznačnost ve výběru potenciálu

Vektorový potenciál solenoidového vektorového pole je definován nejednoznačně. Jestliže je vektorový potenciál pro , tak je $\mathbf {A}$ $\mathbf{v}$

\mathbf {A} +\nabla m,

kde je nějaká spojitě diferencovatelná skalární funkce. To je důsledek skutečnosti, že gradientní zvlnění je nulové. $m$

V elektrodynamice to dává nejednoznačnost při určování potenciálů elektromagnetického pole a řeší se uložením dodatečné kalibrační podmínky na potenciál .

Vektorový potenciál ve fyzice

Maxwellovy rovnice

Jedním ze způsobů, jak napsat Maxwellovy rovnice , je formulovat je z hlediska vektorových a skalárních potenciálů. Vektorový potenciál je zaveden tak, že ${\mathbf A}$

\mu _{0}{\mathbf H}={\mathbf B}=\operatorname {rot}{\mathbf A}

(v soustavě SI ).

V tomto případě je rovnice splněna automaticky. $\operatorname {div}{\mathbf B}=0$

Náhrada výrazu za in ${\mathbf A}$

\operatorname {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

vede k rovnici

\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

podle kterého se stejně jako v elektrostatice zavádí skalární potenciál. Nyní však skalární i vektorový potenciál přispívají k: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\jméno operátora {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Vyplývá to z rovnice $\operatorname {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\partial {\mathbf D)){\partial t))$

\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ částečné }{\částečné t))\left(-\jméno operátora {grad} \;\varphi -{\frac {\částečné \mathbf {A} }{\částečné t))\vpravo).

Pomocí rovnosti lze rovnice pro vektorový a skalární potenciál zapsat jako $\operatorname {rot}\;\operatorname {rot}{\mathbf A}=\operatorname {grad}\;\operatorname {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\částečné t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\částečné ^{2}\mathbf {A} }{\částečné t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

Fyzikální význam vektorového potenciálu

V klasické elektrodynamice byl vektorový potenciál poměrně často interpretován jako veličina, která neměla přímý fyzikální význam, formálně zavedena pouze pro pohodlí výpočtů, i když již v akční struktuře pro klasickou elektrodynamiku vstupuje vektorový potenciál tak přímým způsobem, že to naznačuje jeho základní povahu.

V kvantové teorii to má transparentní fyzikální význam přímého vlivu vektorového potenciálu na fázi vlnové funkce částice pohybující se v magnetickém poli. Navíc bylo možné provést kvantové experimenty, které ukázaly, že vektorový potenciál je v určitém smyslu přístupný docela přímému měření (přinejmenším mluvíme o tom, že vektorový potenciál může ovlivnit kvantovou částici v pozorovatelné měřitelné veličině). způsobem, i když je síla magnetického pole v oblastech přístupných částici všude nulová, to znamená, že magnetické pole nemůže ovlivnit částici prostřednictvím intenzity, ale pouze přímo prostřednictvím vektorového potenciálu; viz Aharonov-Bohmův efekt ).