Konvexní funkce

Konvexní funkce ( convex upward function ) je funkce, pro kterou segment mezi libovolnými dvěma body jejího grafu ve vektorovém prostoru neleží výše než odpovídající oblouk grafu. Ekvivalentně: konvexní je funkce, jejíž podgraf je konvexní množina .

Konkávní funkce ( downward convex function ) je funkce, jejíž tětiva mezi libovolnými dvěma body grafu neleží níže než vytvořený oblouk grafu, nebo ekvivalentně, jejíž epigraf je konvexní množina.

Pojmy konvexní a konkávní funkce jsou duální , navíc někteří autoři definují konvexní funkci jako konkávní a naopak [1] . Někdy, aby se předešlo nedorozuměním, se používají explicitnější termíny: dolů konvexní funkce a nahoru konvexní funkce.

Tento koncept je důležitý pro klasickou matematickou analýzu a funkcionální analýzu , kde jsou studovány zejména konvexní funkcionály , stejně jako pro aplikace jako je teorie optimalizace , kde se rozlišuje specializovaná podsekce - konvexní analýza .

Definice

Číselná funkce definovaná na určitém intervalu (obecně na konvexní podmnožině nějakého vektorového prostoru ) je konvexní, pokud pro libovolné dvě hodnoty argumentu a pro libovolné číslo platí Jensenova nerovnost : $X$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \že jo)

Poznámky

Pokud je tato nerovnost přísná pro všechny a , pak se říká, že funkce je přísně konvexní . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Pokud platí obrácená nerovnost, říká se, že funkce je konkávní (respektive přísně konkávní ve striktním případě).
Pokud u některých platí silnější nerovnost $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

pak se říká, že funkce je silně konvexní .

Vlastnosti

Funkce , která je konvexní na intervalu, je spojitá na všem , diferencovatelná na všem kromě nejvýše spočítatelné množiny bodů a téměř všude dvakrát diferencovatelná . $F$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Jakákoli konvexní funkce je subdiferencovatelná (má subdiferenciál ) v celém definičním oboru.
Konvexní funkce má nosnou nadrovinu svého epigrafu procházející libovolným bodem .
Spojitá funkce je konvexní právě tehdy, když je nerovnost $F$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\in {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
Spojitě diferencovatelná funkce jedné proměnné je konvexní na intervalu právě tehdy, když její graf neleží pod tečnou ( referenční nadrovinou ) nakreslenou do tohoto grafu v žádném bodě intervalu konvexity.
Konvexní funkce jedné proměnné na intervalu má levou a pravou derivaci; levá derivace v bodě je menší nebo rovna pravé derivaci; derivace konvexní funkce je neklesající funkce.
Dvakrát diferencovatelná funkce jedné proměnné je konvexní na intervalu právě tehdy, když je její druhá derivace nezáporná na tomto intervalu. Pokud je druhá derivace dvakrát diferencovatelné funkce přísně kladná, pak je taková funkce přísně konvexní, ale obrácená není pravdivá (například funkce je přísně konvexní na , ale její druhá derivace v bodě je rovna nule) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ $\left[-1,1\right]$ $x=0$
Jsou-li funkce , konvexní, pak jakákoliv jejich lineární kombinace s kladnými koeficienty , je také konvexní. $F$ $G$ $af+bg$ $A$ $b$
Lokální minimum konvexní funkce je také globální minimum (respektive pro vzestupné konvexní funkce je lokální maximum globální maximum).
Jakýkoli stacionární bod konvexní funkce bude globálním extrémem.

Poznámky

↑ Klyushin V. L. Vyšší matematika pro ekonomy / ed. I. V. Martynová. - Vzdělávací vydání. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 s. — ISBN 5-16-002752-1 .

Literatura

Konvexita a konkávnost / Telyakovsky S. A. // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Konvexnost a konkávnost // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Ruština) (CC BY SA 3.0)