Srážka (komplexní analýza)

Reziduum v komplexní analýze je objekt (číslo, forma nebo kohomologická třída formy), který charakterizuje lokální vlastnosti dané funkce nebo formy .

Teorii zbytků jedné komplexní proměnné rozvinul především Cauchy v letech 1825-1829. Kromě něj dosáhli důležitých výsledků Hermit , Sokhotsky , Lindelöf . V roce 1887 Poincaré zobecnil Cauchyho integrální teorém a koncept rezidua na případ dvou proměnných [1] , od toho okamžiku vzniká vícerozměrná teorie reziduí. Ukázalo se však, že tento pojem lze různě zobecňovat.

K označení zbytku analytické funkce v bodě se používá výraz (z lat. reziduum ). V ruskojazyčné literatuře bývá někdy označován jako [2] . $f(z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Jednorozměrná komplexní analýza

Funkce dedukce

Pro funkci s komplexní hodnotou v doméně , která je regulární v nějakém punktovaném okolí bodu , je její zbytek v bodě číslo: $f(z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $v D$ $A$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ limity _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Vzhledem k tomu, že funkce je holomorfní v malém proraženém okolí bodu , podle Cauchyho teorému hodnota integrálu nezávisí na dostatečně malých hodnotách tohoto parametru, stejně jako na tvaru integrační cesty. Jediná důležitá věc je, že cesta je uzavřená křivka v oblasti analýzy funkce, jednou obklopující uvažovaný bod a žádné další body, které nepatří do oblasti holomorfie . $f(z)$ $A$ $\rho$ $F$

V nějakém sousedství bodu je funkce reprezentována konvergentní Laurentovou řadou v mocninách . Je snadné ukázat, že zbytek se shoduje s koeficientem řady v . Tato reprezentace je často brána jako definice zbytku funkce. $A$ $f(z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Odpočet v "nekonečnu"

Umožnit úplnější studium vlastností funkce, představa o zbytku u nekonečna je představena, zatímco to je považováno za funkci na Riemann kouli . Nechť bod v nekonečnu je izolovaný singulární bod , pak zbytek v nekonečnu je komplexní číslo rovné: $f(z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Integrační cyklus v této definici je orientován pozitivně, tedy proti směru hodinových ručiček.

Podobně jako v předchozím případě má i zbytek v nekonečnu reprezentaci ve formě koeficientu Laurentovy expanze v okolí bodu v nekonečnu:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Zbytková diferenciální forma

Z hlediska analýzy na varietách je nepřirozené zavádět speciální definici pro nějaký význačný bod Riemannovy koule (v tomto případě v nekonečnu). Navíc je obtížné zobecnit takový přístup do vyšších dimenzí . Proto se pojem rezidua nezavádí pro funkce, ale pro diferenciální formy na Riemannově sféře: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

Na první pohled není v definicích žádný rozdíl, ale nyní je to libovolný bod a změny znaménka při výpočtu zbytku v nekonečnu je dosaženo změnou proměnných v integrálu. $A$ $\overline {{\mathbb C}}$

Logaritmické zbytky

Integrál se nazývá logaritmický zbytek funkce s ohledem na obrys . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $f(z)$ $L$

Pojem logaritmického zbytku se používá k prokázání Rouchého věty a základní věty algebry .

Způsoby výpočtu srážek

Podle definice lze zbytek vypočítat jako obrysový integrál, ale v obecném případě je to docela pracné. V praxi proto využívají především důsledky definice.

V odnímatelném singulárním bodě , stejně jako v bodě pravidelnosti, je zbytek funkce roven nule. Toto tvrzení zároveň neplatí pro bod v nekonečnu. Například funkce má nulu prvního řádu v nekonečnu, nicméně . Důvodem je to, že forma má singularitu jak v nule, tak v nekonečnu. $a\in {\mathbb C}$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

V pólu násobnosti lze zbytek vypočítat podle vzorce: $A$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \over dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

speciální případ $n=1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Pokud má funkce jednoduchý pól v bodě , kde a jsou funkce holomorfní v okolí , , , lze použít jednodušší vzorec: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $A$ $g(z)$ $Hz)$ $A$ $h(a)=0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Velmi často, zvláště v případě v podstatě singulárních bodů , je vhodné vypočítat zbytek pomocí rozšíření funkce Laurentovou řadou. Například, protože koeficient at je roven 1. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Aplikace teorie reziduí

Ve většině případů se teorie zbytků používá k výpočtu různých druhů integrálních výrazů pomocí hlavní věty o zbytcích . V těchto případech je často užitečné Jordanovo lemma .

Výpočty určitých integrálů goniometrických funkcí

Nechť funkce je racionální funkcí proměnných a . Pro výpočet integrálů tvaru je vhodné použít Eulerovy vzorce . Za předpokladu, že a provedeme příslušné transformace, dostaneme: $R(u,\;v)$ $u$ $proti$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Výpočet nevlastních integrálů

Pro výpočet nevlastních integrálů pomocí teorie reziduí se používají následující dvě lemmata:

1. Nechť je funkce holomorfní v horní polorovině a na reálné ose, kromě konečného počtu pólů , které neleží na reálné ose a . Pak $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Nechť je funkce holomorfní v horní polorovině a na reálné ose, s výjimkou konečného počtu pólů , které neleží na reálné ose, a . Pak $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alpha >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

V tomto případě integrály na levé straně rovnosti nemusí existovat, a proto jsou chápány pouze ve smyslu hlavní hodnoty (podle Cauchyho) .

Vícerozměrná komplexní analýza

Form-reziduum a třída-reziduum

Místní odpočet

Zbytkový tok

Poznámky

↑ H. Poincare. Sur les résidues desintegres doubles // Acta Math. - 1887. - Č. 9 . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. - 3. vyd., dodat. — M.: Nauka, 1974. — 320 s.

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Integrální reprezentace a zbytky v multidimenzionální komplexní analýze. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Multidimenzionální zbytky a jejich aplikace. - Novosibirsk: Nauka, 1988.