Hypotéza Carathéodory

Carathéodoryho domněnka je domněnka připisovaná Constantine Carathéodorymu , která byla vyslovena Hansem Ludwigem Hamburgerem na zasedání Berlínské matematické společnosti v roce 1924 [1] . Carathéodory publikoval články na toto téma [2] , ale nikdy nepředložil hypotézu ve svých spisech. John Edensor Littlewood ve své knize [3] uvádí Hamburgerovu domněnku a příspěvek [4] [5] [6] jako příklad matematického tvrzení, které je snadné tvrdit, ale obtížně dokazovat. Dirk Jan Stroyk popisuje ve svém článku [7] formální analogii domněnky s větou o čtyřech vrcholech pro rovinné křivky . Moderní odkazy na domněnku jsou seznam problémů od Yau Shintun [8] , knihy od Marcela Bergera [9] [10] , stejně jako knihy od Nikolaeva [11] , Stroyky [12] , Toponogova [13] a Alekseevského, Vinogradov, Lychagin [14] .

Formulace

Jakýkoli konvexní, uzavřený a dostatečně hladký povrch v trojrozměrném euklidovském prostoru obsahuje alespoň dva body zaoblení .

Poznámky

Například rotační elipsoid má přesně dva body zaoblení. V tomto případě jsou všechny body koule zaokrouhlovacími body.

Soukromé výsledky

Stefan Cohn-Vossen [15] podal žádost na Mezinárodní kongres matematiků v roce 1928 v Bologni a ve vydání třetího dílu knihy „Diferenciální geometrie“ z roku 1929 Wilhelm Blaschke napsal:

Zatímco se kniha připravovala k vydání, Cohn-Vossen dokázal prokázat, že uzavřené reálně analytické povrchy nemají pupeční body s indexem > 2 (pozvaná přednáška na ICM v Bologni 1928). To dokazuje Carathéodoryho dohad pro takové povrchy, totiž že povrchy musí mít alespoň dva pupky.

Zde se Blaschkeho index rovná dvojnásobku obvyklého indexu pupečního bodu a globální domněnka vyplývá z Poincarého věty o vektorovém poli . Cohn-Vossen před mezinárodním kongresem nepublikoval žádné články a v následujících vydáních Blaschkeovy knihy byly výše uvedené komentáře odstraněny. Z toho lze logicky usuzovat, že dílo bylo nepřesvědčivé.

Pokud jde o analytické povrchy, kladnou odpověď na domněnku dal v roce 1940 Hans Ludwig Hamburger v dlouhém článku publikovaném ve třech částech [4] [5] [6] . Hamburgerův přístup byl také založen na odhadu indexů izolovaných pupečních bodů, z čehož, jak ukázal v dřívějších pracích [17] [18] , vyplývá Caratedoriho domněnka. V roce 1943 Gerrit Bol nabídl kratší důkaz [19] (viz také Blaschke [20] ), ale v roce 1959 Tilla Klotz [21] našla a opravila mezeru v Bolově důkazu [4] [5] [6] . Jeho důkaz byl zase prohlášen za neúplný v disertační práci Hanspetera Scherbela [22] (Sherbel nepublikoval žádné výsledky související s Carathéodoryho domněnkou minimálně do června 2009). Z dalších publikací je třeba zmínit díla Tita [23] , Sotomayora a Mella [24] , Gutierreze [25] .

Všechny výše uvedené důkazy jsou založeny na Hamburgerově redukci Carathéodoryho domněnky na následující domněnku: index žádného izolovaného pupečního bodu nepřesahuje jednu [17] . Zhruba řečeno, hlavní problém spočívá v řešení singularity generované zaokrouhlovacími body. Všichni výše uvedení autoři řeší singularitu indukcí na "degeneraci" bodu zaokrouhlení, ale žádný z autorů nepopsal proces indukce jasně.

V roce 2002 Vladimir V. Ivanov zhodnotil Hamburgerovu práci o analytických površích a napsal následující [26] :

Za prvé, s ohledem na analytické povrchy, s plnou odpovědností prohlašujeme, že Carathéodory měl pravdu. Za druhé, víme, jak to lze důsledně dokázat. Do třetice zde hodláme předložit důkaz, který podle nás přesvědčí každého čtenáře, jen když je opravdu připraven překonat s námi dlouhou a vůbec ne snadnou cestu.

Nejprve šel cestou, kterou navrhli Gerrit Bol a Tilla Klotz, ale později navrhl svůj vlastní způsob řešení singularity, v němž kritická hodnota náleží komplexní analýze (přesněji technika využívající analytické implicitní funkce , Weierstrassova přípravná věta , řada Puiseux a kruhové kořenové systémy ).

V roce 2008 Gilfoyle a Klingenberg oznámili důkaz globálního dohadu o hladkosti povrchů C 3,\alpha . Jejich metoda využívá neutrální Kählerovu geometrii Kleinova kvartiku , střední tok zakřivení , Riemann-Rochův indexový teorém a Sard-Smaleův teorém o regulárních hodnotách Fredholmových operátorů [27] . Jejich článek však nebyl nikdy publikován [28] .

V roce 2012 Gomi a Howard ukázali pomocí Möbiovy transformace , že globální domněnku pro povrchy s hladkostí C2 lze přeformulovat z hlediska počtu pupečních bodů grafů některých asymptotických gradientů [29] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Hamburger, 1924 .
  2. ↑ Vratislavská univerzita, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1940 , str. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , str. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hamburger, 1941 , str. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , str. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Alekseevsky, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hamburger, 1922 , str. 258-262.
  18. ↑ Hamburger, 1924 , str. 50–66.
  19. ↑ Bol, 1944 , str. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , str. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , str. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , str. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , str. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , s. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , str. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , str. 4323-4335.

Literatura