Desetinný

Desetinné číslo je typ zlomku, který představuje způsob reprezentace reálných čísel ve tvaru

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

kde

\odpoledne

- znak zlomku : buď , nebo ,

+

-

,

- desetinná čárka sloužící jako oddělovač mezi celým číslem a zlomkem čísla ( standard zemí SNS ) [1] ,

d_{k}

- desetinné číslice . Navíc posloupnost číslic před čárkou (vlevo od ní) je konečná (alespoň jedna číslice) a za čárkou (napravo od ní) může být buď konečná (zejména číslice za čárkou může chybět úplně) nebo nekonečná.

Příklady:

$123{,}45$ (konec desetinného místa)
Znázornění čísla $\pi$ jako nekonečného desetinného čísla: $3{,}1415926535897...$

Hodnota desetinného místa je reálné číslo $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

roven součtu konečného nebo nekonečného počtu členů.

Reprezentace reálných čísel pomocí desetinných míst je zobecněním psaní celých čísel v desítkové soustavě . Desetinná reprezentace celého čísla postrádá číslice za desetinnou čárkou, a tak reprezentace je

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

který se shoduje se zápisem tohoto čísla v desítkové číselné soustavě.

Konečná a nekonečná desetinná místa

Konečné zlomky

Desetinná čárka se nazývá konečná , pokud obsahuje konečný počet číslic za desetinnou čárkou (zejména žádnou), to znamená, že má tvar

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Podle definice tento zlomek představuje číslo

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Je snadné vidět, že toto číslo lze reprezentovat jako obyčejný zlomek tvaru , jehož jmenovatelem je mocnina deseti. Naopak libovolné číslo ve tvaru , kde je celé číslo a je nezáporné celé číslo, lze zapsat jako konečný desetinný zlomek. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $p$ $s$

Pokud je obyčejný zlomek redukován na neredukovatelný tvar, jeho jmenovatel bude vypadat takto . Platí tedy následující věta o reprezentovatelnosti reálných čísel jako konečných desetinných zlomků. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Teorém. Reálné číslo může být reprezentováno jako konečný desetinný zlomek tehdy a jen tehdy, je-li racionální a když je zapsáno jako neredukovatelný zlomek , jmenovatel nemá prvočíselníky jiné než a . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Nekonečné zlomky

Nekonečné desetinné číslo

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

představuje podle definice reálné číslo

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Tato řada konverguje , bez ohledu na nezáporné celé číslo a desetinné číslice . Toto tvrzení vyplývá z toho, že posloupnost jeho dílčích součtů (pokud znaménko zlomku odpadne) je nahoře omezena číslem (viz kritérium pro konvergenci řad s kladnými znaménky ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Reprezentace reálných čísel jako desetinná místa

Jakýkoli konečný nebo nekonečný desetinný zlomek tedy představuje nějaké dobře definované reálné číslo. Zbývají následující otázky:

Může být jakékoli reálné číslo reprezentováno jako desetinné?
Je to jediné zastoupení?
Jaký je algoritmus pro rozklad čísla na desetinné číslo?

Tyto problémy jsou zvýrazněny níže.

Algoritmus pro rozšíření čísla na desetinný zlomek

Algoritmus pro konstrukci desetinného zlomku, který je jeho reprezentací, je popsán níže. $\alpha$

Podívejme se nejprve na případ . Rozdělte celou číselnou osu celočíselnými body na segmenty o jednotkové délce. Zvažte segment , který obsahuje bod ; ve speciálním případě, kdy je bod koncem dvou sousedních segmentů, zvolíme správný segment jako . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alpha$ $\alpha$ $I_0$

Pokud označíme nezáporné celé číslo, které je levým koncem segmentu , až , pak můžeme napsat: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

V dalším kroku rozdělíme segment na deset stejných částí s body $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9

a uvažovat segmenty délky, na kterých bod leží ; v případě, kdy je tento bod koncem dvou sousedních segmentů, vybereme opět ten správný z těchto dvou segmentů . $1/10$ $\alpha$

Nazvěme tento segment . Vypadá to, že: $I_1$

I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\že jo]

Obdobným způsobem budeme pokračovat v procesu zpřesňování číselné osy a postupného zpřesňování polohy bodu . $\alpha$

V dalším kroku máme segment obsahující bod , rozdělíme jej na deset stejných segmentů a vybereme z nich segment, na kterém bod leží ; v případě, že je tento bod koncem dvou sousedních segmentů, vybereme z těchto dvou segmentů ten správný . $V 1}}$ $\alpha$ $V}}$ $\alpha$

Pokračujeme-li v tomto procesu, dostaneme sekvenci segmentů formuláře $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\right]

kde je nezáporné celé číslo a jsou celá čísla splňující nerovnost . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

Sestavená sekvence segmentů má následující vlastnosti: $I_{0},I_{1},\ldots$

Segmenty jsou postupně vnořeny do sebe: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Délka segmentů $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
Bod patří do všech segmentů sekvence $\alpha$

Z těchto podmínek vyplývá, že existuje systém vnořených segmentů , jejichž délky bývají nulové jako , a bod je společným bodem všech segmentů systému. To znamená, že posloupnost levých konců segmentů konverguje k bodu (obdobné tvrzení platí i pro posloupnost pravých konců), tzn. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\to\infty$ $\alpha$ $\alpha$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha

n\to\infty

To znamená, že řádek

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

konverguje k , a tedy k desetinnému $\alpha$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

je reprezentace čísla . Je tedy zjištěno rozšíření nezáporného čísla na desetinný zlomek. $\alpha$ $\alpha$

Výsledný desetinný zlomek je svou konstrukcí nekonečný. V tomto případě se může ukázat, že od určitého čísla jsou všechna desetinná místa za desetinnou čárkou nula, to znamená, že zlomek má tvar

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Je snadné vidět, že tato možnost nastává v případě, kdy se bod v některém kroku shoduje s jedním z dělicích bodů reálné přímky. V tomto případě vyřazení celkem $\alpha$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

nulové členy, dostaneme, že číslo může být také reprezentováno konečným desetinným zlomkem $\alpha$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

Obecně je jasné, že přidáním libovolného počtu nul (včetně nekonečna) na konec desetinného zlomku za desetinnou čárkou hodnotu zlomku nezměníme. Číslo tedy v tomto případě může být reprezentováno jak konečným, tak nekonečným desetinným zlomkem (získáno z prvního přiřazením nekonečného počtu nul). $\alpha$

Tedy případ nezáporného . V případě záporné , jako desítkové reprezentace tohoto čísla, můžete vzít reprezentaci jeho opačného kladného čísla se znaménkem mínus. $\alpha$ $\alpha$

Výše uvedený algoritmus poskytuje způsob, jak rozšířit libovolné reálné číslo na desetinný zlomek. To dokazuje následující

Teorém. Jakékoli reálné číslo může být reprezentováno jako desítkové.

O roli Archimédova axiomu

Daný algoritmus pro rozklad reálného čísla na desetinný zlomek v podstatě spoléhá na vlastnost systému reálných čísel nazývanou Archimédův axiom .

Tato vlastnost byla v algoritmu použita dvakrát. Na samém začátku konstrukce bylo vybráno celé číslo tak, aby skutečné číslo bylo mezi a následujícím celým číslem : $a_{0}$ $\alpha$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z))

Existence takového celého čísla však musí být ještě dokázána: nelze například vyloučit možnost, že ať je celé číslo jakékoli , nerovnost vždy nastává . Pokud by k tomuto případu došlo, pak by se požadovaný počet zjevně nenašel. $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alpha$ $a_{0}$

Tuto možnost přesně vylučuje Archimédův axiom, podle kterého bez ohledu na číslo vždy existuje celé číslo takové, že . Nyní mezi čísly vezmeme to nejmenší, které má vlastnost . Pak $\alpha$ $n$ $n>\alpha$ $k=1,\ldots ,n$ $k>\alpha$

k-1\leqslant \alpha<k

Bylo nalezeno požadované číslo: . $a_{0}=k-1$

Podruhé byl Archimédův axiom implicitně použit v důkazu sklonu k nule délek segmentů sekvence : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

Důkladný důkaz tohoto tvrzení je založen na Archimedově axiomu. Dokažme ekvivalentní vztah

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

V souladu s Archimedovým axiomem, ať už je reálné číslo jakékoli , posloupnost přirozených čísel jej překoná, počínaje od nějakého čísla. A protože pro každého existuje nerovnost $E>0$ $1,2,\ldots$ $n$

10^{n}>n

pak sekvence také předčí , počínaje stejným číslem. V souladu s definicí limity číselné posloupnosti to znamená, že . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

Nejednoznačnost desítkové reprezentace

S pomocí výše uvedeného algoritmu můžeme pro jakékoli reálné číslo sestrojit desetinný zlomek představující toto číslo. Může se však stát, že stejné číslo může být reprezentováno jako desetinné číslo jiným způsobem. $\alpha$ $\alpha$

Nejednoznačnost zobrazení čísel ve formě desetinných zlomků vyplývá již z triviální skutečnosti, že přiřazením nul vpravo za desetinnou čárkou ke koncovému zlomku získáme formálně odlišné desetinné zlomky představující stejné číslo.

I když však zlomky získané vzájemným přiřazením konečného nebo nekonečného počtu nul považujeme za identické, zůstává zobrazení některých reálných čísel stále nejedinečné.

Vezměme si například desetinné číslo

0{,}99\ldots

Podle definice je tento zlomek reprezentací čísla . Toto číslo však může být také reprezentováno jako desetinné číslo . Skutečně, reálná čísla jsou odlišná právě tehdy, když mezi ně lze vložit ještě jedno reálné číslo, které se s nimi neshoduje, ale mezi a nelze vložit žádné třetí číslo . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\ldots$ $a,b$ $a,b.$ $0{,}99\ldots$ $1{,}00\ldots$

Tento příklad lze zobecnit. Lze ukázat, že zlomky

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

kde , představují stejné reálné číslo. $a_{n}\neq 9$

Ukazuje se, že tento obecný příklad vyčerpává všechny případy nejednoznačnosti v reprezentaci reálných čísel jako desetinných zlomků. Přitom samozřejmě neuvažujeme triviální případy zlomků získané vzájemným přiřazením nul na konci, stejně jako dvojice zlomků a . $+ 0{,}00 \ldots$ $- 0{,}00 \ldots$

Tyto výsledky lze shrnout do následující věty.

Teorém. Jakékoli reálné číslo , které není reprezentovatelné ve tvaru , kde je celé číslo, je nezáporné celé číslo, připouští jedinečnou reprezentaci ve formě desetinného zlomku; tento zlomek je nekonečný. $\alpha$ $p/10^{s}$ $p$ $s$

Jakékoli reálné číslo formuláře může být reprezentováno jako desítkové více než jedním způsobem. Jestliže , pak to může být reprezentováno jak jako konečný desetinný zlomek, tak jako nekonečný zlomek získaný přiřazením nul na konec za desetinnou čárkou a jako nekonečný zlomek končící na . Číslo může být reprezentováno zlomky formuláře , stejně jako zlomky formuláře . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alpha = 0$ $+0{,}00 \ldots$ $-0{,}00 \ldots$

Komentář. Nekonečné zlomky končící na jsou získány vždy výběrem levého segmentu namísto pravého ve výše uvedeném algoritmu. $999\ldots$

Nuly navíc a chyba

Nutno podotknout, že z hlediska přibližných výpočtů není zápis desetinného zlomku s nulami na konci zcela totožný se zápisem bez těchto nul.

Obecně se uznává , že pokud není chyba uvedena, pak se absolutní chyba desetinného zlomku rovná polovině jednotky poslední vybité číslice, tzn. číslo se získá v souladu s pravidly pro zaokrouhlování [2] . Například položka „3,7“ znamená, že absolutní chyba je 0,05. A v položce "3,700" je absolutní chyba 0,0005. Další příklady:

"25" - absolutní chyba je 0,5 (také takový záznam může znamenat přesnou hodnotu 25: například 25 kusů);
"2,50∙10⁴" - absolutní chyba je 50;
"25,00" - absolutní chyba je 0,005.

Periodická desetinná místa

Definice a vlastnosti

Nekonečný desetinný zlomek se nazývá periodický , pokud jeho posloupnost číslic za desetinnou čárkou, počínaje od nějakého místa, je periodicky se opakující skupina číslic. Jinými slovy, periodický zlomek je desetinný zlomek, který vypadá

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

Takový zlomek se obvykle zapisuje do tvaru

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Opakující se skupina číslic se nazývá perioda zlomku, počet číslic v této skupině je délka periody. $b_{1}\ldots b_{l}$

Pokud v periodickém zlomku následuje tečka bezprostředně za desetinnou čárkou, pak se zlomek nazývá čistý periodický . Pokud jsou mezi desetinnou čárkou a první tečkou čísla, zlomek se nazývá smíšený periodický a skupina čísel za desetinnou čárkou až po první znaménko tečky se nazývá předdoba zlomku. Například zlomek je čistě periodický, zatímco zlomek je smíšený periodický. $1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$

Hlavní vlastností periodických zlomků, díky které se odlišují od celé množiny desetinných zlomků, je to, že periodické zlomky a pouze oni představují racionální čísla . Přesněji řečeno, platí následující návrh.

Teorém. Jakýkoli nekonečný periodický desetinný zlomek představuje racionální číslo. Naopak, jestliže racionální číslo expanduje do nekonečného desetinného zlomku, pak je tento zlomek periodický.

Lze ukázat, že čistě periodické zlomky odpovídají racionálním číslům, ve kterých jmenovatel nemá prvočísla a , stejně jako racionální čísla , ve kterých má jmenovatel pouze prvočísla a . V souladu s tím smíšené periodické zlomky odpovídají neredukovatelným zlomkům , jejichž jmenovatel má oba jednoduché dělitele nebo , a liší se od nich. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Převod periodického desetinného čísla na společný zlomek

Předpokládejme, že je dán periodický desetinný zlomek s periodou 4. Všimněte si, že jeho vynásobením , dostaneme velký zlomek se stejnými číslicemi za desetinnou čárkou. Odečtením části celého čísla ( ), o kterou se zlomek po jeho vynásobení zvětšil, dostaneme původní zlomek ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10 000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $X$
$10000x-1998=x$
$\Šipka doprava$
$10000x-x=1998$
$\Šipka doprava$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

Výslovnost desetinných míst

V ruštině se desetinné zlomky čtou takto: nejprve se vysloví celá část, pak slovo „celek“ (nebo „celek“), pak zlomková část, jako by se celé číslo skládalo pouze z této části, tedy z čitatele. zlomku je kvantitativní ženské číslo (jedna, dva, osm atd.) a jmenovatel je pořadové číslo (desetina, setina, tisícina, desetitisícina atd.).

Například: 5,45 - pět celých, čtyřicet pět setin.

U delších čísel se někdy desetinná část rozděluje na mocniny tisíce . Například: 0,123 456 - nulový bod, sto dvacet tři tisícin, čtyři sta padesát šest miliontin.

V praxi však často jako racionálnější převládá taková výslovnost: celá část, spojení „a“ (často vynechané), zlomková část.

Například: 5,45 - pět a čtyřicet pět; (pět - čtyřicet pět).

U opakujících se desetinných míst řekněte část čísla před tečkou (vyjádřenou jako celé číslo v případě čistého opakujícího se zlomku nebo jako poslední desetinné místo v případě smíšeného opakujícího se zlomku) a poté přidejte číslo v období . Například: 0.1(23) - nula celých čísel, jedna desetina a dvacet tři v období; 2,(6) jsou dvě celá čísla a šest v období.

Historie

S desetinnými zlomky se poprvé setkáváme v Číně zhruba od 3. století našeho letopočtu. E. při počítání na počítací tabuli ( suanpan ). V písemných pramenech byly desetinné zlomky nějakou dobu zobrazovány v tradičním (nepozičním) formátu, postupně však tradiční nahradila poziční soustava [4] .

Timuridský matematik a astronom Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) se ve svém pojednání „Klíč aritmetiky“ prohlásil za vynálezce desetinných zlomků, i když byly nalezeny v dílech Al-Uklidisiho , který žil O 5 století dříve [5] .

V Evropě byly desetinné zlomky původně psány jako celá čísla na nějakém dohodnutém měřítku; například trigonometrické tabulky Regiomontanus (1467) obsahovaly hodnoty zvýšené o faktor 100 000 a poté zaokrouhlené na nejbližší celé číslo. První desetinné zlomky v Evropě zavedl Immanuel Bonfils kolem roku 1350, v roce 1579 se Viet pokusil prosadit jejich používání . Rozšířily se však až po vydání díla Simona Stevina „Desátý“ (1585) [6] .

Viz také

Poznámky

↑ Znak čárky " " - desetinná čárka - jako oddělovač celých a zlomkových částí desetinného zlomku se používá v Rusku, evropských zemích (kromě Velké Británie a Irska) a mnoha dalších zemích, na které měly kulturní vliv. V anglicky mluvících zemích a zemích, na které měly vliv, se k tomu používá tečka „ “ - desetinná čárka ( anglická desetinná čárka ) a čárka se používá k seskupení číslic celé části čísla podle K tomu se používají tři desetinná místa (tzv. oddělovač skupin číslic , v Rusku znak pevné mezery ""). Například zlomek v desítkovém zápisu v ruském standardu bude vypadat takto: a v anglickém standardu takto: . Podrobnosti viz Oddělovač desetinných míst . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333,333,333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1954. - 412 s.
↑ Encyklopedie pro děti . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematika. — ISBN 5-8483-0015-1 . , strana 179
↑ Jean-Claude Martzloff . Historie čínské matematiky. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematika ve středověkém islámu // Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: Zdrojová kniha . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M .: Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 s. — (Literatura vědecká a biografická).