Frakční derivát

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Derivace zlomku (nebo derivát zlomkového řádu) je zobecněním matematického konceptu derivátu . Existuje několik různých způsobů, jak tento koncept zobecnit, ale všechny se shodují s konceptem obyčejné derivace v případě přirozeného řádu. Uvažujeme-li nejen zlomkové, ale i záporné řády derivace, pak se pro takovou derivaci obvykle používá termín diferenciální integrál .

Zlomkové derivace na segmentu reálné osy

Pro funkci definovanou na intervalu každý z výrazů $f(x)$ $[a,\,b]$

$D_{a+}^{\alpha }\,f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha ))){\frac {d}{dx))\int \limits _{a}^{x}{\frac {f(t)\,dt}{(xt)^{\alpha }}},\quad \,D_{b-}^{\alpha }\,f( x)=-{\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{b}{\frac {f(t )\,dt}{(tx)^{\alpha }}},$

se nazývá zlomková derivace řádu , respektive levotočivý a pravotočivý. Zlomkové deriváty ve výše uvedené formě se obvykle nazývají Riemann-Liouville deriváty. $\alpha$ $0 < \alpha < 1$

Definice pomocí Cauchyho integrálu

Zlomková derivace řádu ( je skutečné kladné číslo) je určena pomocí Cauchyho integrálu: , kde se integrace provádí podél předem zvoleného obrysu v komplexní rovině. Přímá aplikace tohoto vzorce je obtížná z důvodu větvení funkce se zlomkovým exponentem ve jmenovateli. $p$ $p$ $D_{C}^{p}f(t)={\frac {1}{\Gamma (p)))\!\int \limits _{C}{\frac {f(u)}{ (tu)^{p+1}}}\,du$ $C$

Definice pomocí Fourierovy transformace

Na základě následující vlastnosti integrální Fourierovy transformace

F[D^{k}\psi (x)](\omega )=(-i\omega )^{k}(F\psi )(\omega )\quad (k\in \mathbb {N } ).

[jeden]

Definice pomocí obecného vzorce n -té derivace

Pokud existuje obecný analytický výraz pro derivaci n-tého řádu, lze pojem zlomkové derivace zavést přirozeným způsobem zobecněním tohoto výrazu (pokud je to možné) na případ libovolného čísla n .

Příklad 1: derivování polynomů

Nechť existuje jednočlenný tvar $f(x)$

f(x)=x^{k}\,.

První derivace, jako obvykle

f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.

Opakování tohoto postupu dává obecnější výsledek.

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k!  \over (kn)!}x^{kn}\,,

což po nahrazení faktoriálů funkcemi gama vede k

{d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{kn}\, .

Proto například poloviční derivace funkce x je

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)} x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.

Opakováním postupu budeme mít

{d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\ pi ^{-{1 \over 2))}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{ {1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x ^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\,,

jaký je očekávaný výsledek

\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}} \right)x={d \over dx}x=1\,.

Je tedy možné zavést zlomkové derivace libovolného kladného řádu polynomu. Definice také přirozeně zobecňuje na analytické funkce. Uvažujeme -li jako meromorfní funkci komplexní proměnné, můžeme definici zobecnit na případ libovolného řádu derivace. V čem $\Gamma$

{\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx} \right)}^{a+b}

na všech takových, že , a nejsou záporná celá čísla. $x^{k}$ $ka$ $kb$ $kab$

Je třeba poznamenat, že derivace v uvažovaném smyslu probíhá pro celé číslo záporné n , nicméně taková derivace se liší od konceptu primitivního derivátu n-tého řádu, protože primitivní derivát není jednoznačně definován, zatímco derivát se shoduje pouze s jedním z primitivních derivátů. V tomto případě můžeme hovořit o hlavním významu primitivní funkce.

Příklad 2: Derivování goniometrických funkcí

Nechat

f(x)=\sin(ax+b)\,.

Protože pro libovolné a a b

{d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\ ,,

pak , za předpokladu $n=1/2$

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+ {\pi \over 4}\right)\,.

Opravdu,

{{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}} \sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.

V uvažovaném příkladu je pojem derivace zobecněn na případ jakéhokoli reálného a dokonce složitého řádu. Takže v , vzorec pro n-tou derivaci dává jednu z primitivních funkcí funkce . $n=-1$ $f(x)$

Vlastnosti

Hlavní vlastnosti derivace neceločíselného řádu:

Linearita

D_{t}^{q}(f(t)+g(t))=D_{t}^{q}(f(t))+D_{t}^{q}(g(t) ))

D^{q}(ax)=aD^{q}(x)

Nulové pravidlo

D^{0}x=x

Zlomkový derivát produktu

D_{t}^{q}(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}D_{t}^{j}( f(t))D_{t}^{qj}(g(t))

vlastnost pologrupy

D^{a}D^{b}f(t)=D^{a+b}f(t)

obecně nespokojen [1] .

Poznámky

↑ 1 2 Viz vzorec (1.3.11) (str. 11) v AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, 2006)

Viz také

Literatura

Riemann B. Zkušenost zobecnění akcí integrace a diferenciace . - Moskva, Leningrad: GITTL, 1948. - 544 s.
Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Zlomkové integrály a derivace a některé jejich aplikace . - Minsk: Věda a technika, 1987. - 688 s.
Pskhu AV rovnice v parciálních derivacích zlomkového řádu. - Moskva: Nauka, 2005. - 199 s.
Nakhushev AM Zlomkový počet a jeho aplikace . - Moskva: FIZMATLIT, 2003. - 272 s. — 5−9221−0440−3 výtisků. Archivováno20. července 2013 naWayback Machine
Uchaikin VV Metoda frakčních derivátů . - Uljanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 výtisků. - ISBN 978-5-904198-01-5 . (nedostupný odkaz)
Tarasov VE Modely teoretické fyziky s frakční integro-diferenciací. - Moskva, Iževsk: RHD, 2010. - 568 s.
V. V. Vasiliev, L. A. Simák. Zlomkový počet a aproximační metody v modelování dynamických systémů . - Kyjev: NAS Ukrajiny, 2008. - S. 256. - ISBN 978-966-02-4384-2 .
F. Mainardi. Zlomkový počet a vlny v lineární viskoelasticitě: Úvod do matematických modelů . - Imperial College Press, 2010. - 368 s. Archivováno 19. května 2012 na Wayback Machine
VE Tarasov. Zlomková dynamika: Aplikace zlomkového počtu na dynamiku částic, polí a médií . - 2010. - 450 s.
VV Učajkin. Zlomkové deriváty pro fyziky a inženýry . - Higher Education Press, 2012. - 385 s.
R. Herrmann. Zlomkový počet. Úvod do fyziků . - Singapur: World Scientific, 2014. - ISBN 978-981-4551-09-0 .
AA Kilbas, HM Srivastava, JJ Trujillo. Teorie a aplikace zlomkových diferenciálních rovnic. — Elsevier. — Amsterdam, 2006.
SG Samko, AA Kilbas, OI Marichev. Teorie a aplikace zlomkových integrálů a derivátů. — New York: Gordon and Breach, 1993.
K. Miller, B. Ross. Úvod do zlomkového počtu a zlomkových diferenciálních rovnic. — New York: Wiley, 1993.
I. Podlubný. Zlomkové diferenciální rovnice. - San Diego: Academic Press, 1999.
B. Ross. Stručná historie a výklad základní teorie zlomkového počtu. — Notes Math, 1975.

Odkazy

časopis: "Fractional Calculus & Applied Analysis", (od roku 1998 do roku 2014) a Fractional Calculus and Applied Analysis (od roku 2015)
Časopis: Zlomkové diferenciální rovnice (FDE)
Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
Journal: Progress in Fractional Differentiation and Applications
časopis: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
Aplikace zlomkového počtu
Zlomkový počet, Riemann-Liouvilleova definice zlomkového integrálu, definice zlomkových derivátů a seznam aplikací počtu. (Angličtina)
Zlomkový počet
Zlomkový počet – obsahuje úvodní poznámky o zlomkovém počtu
Weisstein, Eric W. Fractional Calculus (anglicky) na webu Wolfram MathWorld ..
Zlomkové integrály a derivace a jejich aplikace. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Minsk, 1987 (nepřístupný odkaz)