Dvojí čísla

Duální čísla nebo (hyper) komplexní čísla parabolického typu jsou hyperkomplexní čísla tvaru , kde a jsou reálná čísla , a je abstraktním prvkem, jehož druhá mocnina je rovna nule, ale sama o sobě není nulou. Jakékoli duální číslo je jednoznačně určeno takovou dvojicí čísel a . Množina všech duálních čísel tvoří dvourozměrnou komutativní asociativní algebru s jednotou pod multiplikativní operací na poli reálných čísel . Na rozdíl od oboru obyčejných komplexních čísel tato algebra obsahuje nulové dělitele a všichni mají tvar . Rovina všech duálních čísel je „alternativní komplexní rovina“. Algebry komplexních a dvojitých čísel jsou konstruovány podobným způsobem. $a+\varepsilon b$ $A$ $b$ $\varepsilon$ $A$ $b$ $\mathbb {R}$ $a\varepsilon$

Komentář. Někdy se duálním číslům říká dvojitá čísla [1] , i když obvykle se jako dvojčísla chápe jiný systém hyperkomplexních čísel .

Definice

Algebraická definice

Duální čísla jsou dvojice reálných čísel tvaru , pro které jsou operace násobení a sčítání definovány podle pravidel: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

V tomto případě jsou čísla formuláře identifikována reálnými čísly a číslo je označeno , po kterém budou mít definující identity tvar: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Stručně řečeno, kruh duálních čísel je faktorový kruh kruhu skutečných polynomů ideálem generovaným polynomem . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Lineární zobrazení

Duální čísla mohou být reprezentována jako matice reálných čísel, kde sčítání duálních čísel odpovídá sčítání matice a násobení čísel odpovídá násobení matice. Nechte _ Poté nabude tvar libovolné duální číslo $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Indikativní formulář

Pro exponent s dvojitým exponentem platí následující rovnost:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Tento vzorec vám umožňuje reprezentovat jakékoli duální číslo v exponenciální formě a najít jeho logaritmus v reálném základu. Lze to dokázat rozšířením exponentu v Taylorově řadě :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

V tomto případě jsou všechny členy nad prvním řádem rovny nule. Tudíž:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Aritmetické operace

Přidání $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Odčítání $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Násobení $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Divize $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Kořeny

N-tá odmocnina druhového čísla je definována jako $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Diferenciace

Dvojí čísla úzce souvisí s diferenciací funkcí. Uvažujme analytickou funkci, jejíž definiční obor lze přirozeně rozšířit na kruh duálních čísel. Dá se to snadno ukázat $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Proč je to tak

jak je známo,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

to znamená

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

ale protože všechny mocniny větší než jedna jsou rovny nule, pak $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Nyní zvažte rozšíření funkce v řadě Maclaurin (vše je podobné s rozšířením v řadě Taylor):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Zvažte stejnou funkci duálního argumentu:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Podle vzorce (1) dostaneme

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Druhý člen není nic jiného než řadový rozvoj derivace funkce , tzn $F$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Tím, že provádíme výpočty ne na reálných, ale na duálních číslech, lze automaticky získat hodnotu derivace funkce v bodě. Je obzvláště vhodné uvažovat složení funkcí tímto způsobem.

Mezi duálními čísly a nestandardními čísly analýzy lze nakreslit analogii . Imaginární jednotka ε kruhu duálů je jako nekonečně malé číslo nestandardní analýzy: jakákoli mocnina (větší než první) je přesně 0, zatímco jakákoli mocnina nekonečně malého čísla je přibližně rovna 0 (je nekonečně malá vyššího řádu) . Pokud je tedy nekonečně malé číslo, pak až do kruhu hyperreálných čísel forma je izomorfní s kruhem duálních čísel. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Poznámky

↑ J. Humphrey . Lineární algebraické grupy. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Literatura

IM Yaglom Komplexní čísla a jejich aplikace v geometrii. M.: Fizmatlit, 1963. 192 s.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (anglicky)

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion

Počet infinitezimálů a infinitezimálů
Příběh	Leibnizova notace Integrální znak Metoda nedělitelných
Související destinace	Vlastní analýza
Formalismy	Rozdíl
Koncepty	Standardní část čísla Princip přechodu Hyperinteger Věta o přírůstku Monad Interní sada Field of Levi-Civita Hyperfinite set Zákon kontinuity přetečení Mikrokontinuita Transcendentní zákon homogenity
Vědci	Archimedes Leibniz Robinson Farma Cauchy Euler
Literatura	Analýza infinitezimálů Elementární výpočty Kurz analýzy