Zonogon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zonogon je středově symetrický konvexní mnohoúhelník .

Ekvivalentní definice

Zonogon je konvexní mnohoúhelník se sudým počtem stran, který lze rozdělit na dvojice stejných a rovnoběžných . Ve skutečnosti stačí vyžadovat pravdivost obou podmínek pro všechny dvojice stran kromě jedné - pro ni bude podmínka již důsledkem, což lze snadno dokázat indukcí na počtu stran mnohoúhelníku. Avšak dvojice stran, jejichž rovnoběžnost a rovnost nejsou postulovány, musí být nutně stejné pro obě podmínky, jinak polygon již nemusí být nutně zonogon: příklad mnohoúhelníku, který není zonogonem, ve kterém jsou opačné strany pouze jeden pár není rovnoběžný a protilehlé strany jsou pouze jeden pár není stejný, jak je znázorněno na obrázku vpravo.
Zonogon je konvexní mnohoúhelník se sudým počtem stran, ve kterém jsou všechny protilehlé strany a úhly stejné.
Zonogon je Minkowského součet konečného počtu segmentů v rovině. Počet stran výsledného zonogonu se rovná dvojnásobku počtu segmentů.
Zonogon je hranice promítání hyperkrychle nějaké dimenze na rovinu . Tuto definici lze získat z předchozí, s využitím skutečnosti, že hyperkrychle je Minkowského součet jejích hran vycházejících z jednoho vrcholu a skutečnosti, že projekce Minkowského součtu segmentů (jako každé jiné množiny) je Minkowského součet. jejich projekcí. Pro rozměr hyperkrychle má výsledný zonogon přesně strany v obecném případě a v každém případě nejvíce stran. Je důležité, že rozměrová hyperkrychle nemusí být promítána z -rozměrného prostoru na rovinu obsaženou v tomto prostoru: například promítáním krychle s hranou z trojrozměrného prostoru na rovinu v něm obsaženou nelze získat obrazec o průměru menším než , protože se jedná o průměr vepsané koule krychle, jejíž průmět je kruh o průměru a je obsažen uvnitř průmětu samotné krychle v kterékoli z jejích poloh, ale ortogonální průmět krychle stejné velikosti s vrcholy z pětirozměrného prostoru na rovinu tvořenou všemi body tvaru sestává vůbec z jednoho bodu - . Toto zpřesnění ovlivňuje nejen velikost výsledných zonogonů - některé zonogony až do podobnosti lze získat pouze promítnutím hyperkrychle na rovinu z prostoru vyšší dimenze, než je dimenze hyperkrychle samotné. $n$ $2n$ $2n$ $n$ $n$ $2$ $2$ $2$ $(0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x,y,0,0,0)$ $(0,0,0,0,0)$

Speciální případy

Rovnoběžník je čtyřúhelník , který je zonogonem. Zonogony jsou zejména kosočtverec , obdélník a čtverec .
Pravidelný mnohoúhelník se sudým počtem stran je zonogon.

Vlastnosti

Zobecnění Monského teorému : žádný zonogon nelze rozřezat na lichý počet trojúhelníků o stejné ploše . Tuto skutečnost dokázal tentýž Paul Monsky po hlavní větě [1] [2] .

Maximální počet párů vrcholů, které mohou být ve stejné vzdálenosti v zonogonu se stranami je . Existují zonogony s počtem takových párů rovným (viz "O" velké a "o" malé ) [3] . $n$ $2n-3$ $2n-O({\sqrt {n)))$

Jakýkoli striktně konvexní zonogon se stranami lze rozdělit na rovnoběžníky a mezi nimi bude vždy přesně jeden rovnoběžník se stejnými směry stran pro každou dvojici možných směrů stran zonogonu [4] . Počet takových možných přepážek pro zonogony s libovolným počtem stran je dán sekvencí A006245 v OEIS . $2n$ ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$

Pro jakékoli rozdělení libovolného zonogonu na rovnoběžníky (v libovolném počtu z nich) existují alespoň tři vrcholy zonogonu, z nichž každý náleží pouze jednomu z rovnoběžníků [5] .

Způsoby, jak snížit počet stran

Tyto metody mohou být aplikovány v indukci na počtu stran zonogonu k prokázání výše uvedených ekvivalentních definic a vlastností.

Prořezávání vrcholů - s jeho pomocí lze například snadno dokázat ekvivalenci hlavní definice s druhou definicí ze sekce s ekvivalentními definicemi.
Ořezové pásy rovnoběžníků - mimo jiné lze použít k prokázání výše uvedených vlastností souvisejících s dělením zonogonů na rovnoběžníky úplně.

Obkládání letadla zonogony

Všechny zonogony s více než čtyřmi vrcholy v dlaždicích níže lze rozdělit na zonogony s méně vrcholy vyříznutím vrstev rovnoběžníku znázorněných na jednom z výše uvedených obrázků. Také tyto rovnoběžníky mohou být odstraněny z obkladu, což se bude rovnat "zhroucení" zonogonů v nějakém směru.

Obklady s jedním typem zonogonů

Čtyřúhelníky a šestiúhelníky , které jsou zonoúhelníky, jsou také rovnoběžky a umožňují pokládat rovinu vlastními kopiemi, získanými pouze pomocí paralelního posunu .

Obkládání roviny jedním typem zonogonů
Obklad se čtyřúhelníkovými zonogony	Obklad s šestihrannými zonogony

Obklady se dvěma typy zonogonů

Tyto obklady jsou jakýmsi zkrácením obkladu roviny pomocí rovnoběžníků (čtyřúhelníkových zonogonů) podél hran, respektive podél vrcholů.

Obkládání roviny dvěma typy zonogonů
Obklad se čtyřhrannými a šestihrannými zonogony	Teselace se čtyřúhelníkovými a osmiúhelníkovými zonogony

Některé další teselace

Obklady roviny několika typy zonogonů, včetně osmiúhelníkových získaných z obkladů roviny jedním typem zonogonů
Teselace se čtyřúhelníkovými a osmiúhelníkovými zonogony	Obklad se čtyřhrannými, šestihrannými a osmihrannými zonogony
Rámce

Teselace

V obecném případě osmiúhelníkový zonogon definuje dva podobné obklady.	V obecném případě osmiúhelníkový zonogon definuje čtyři takové obklady.

Obklady roviny pomocí čtyřúhelníkových, šestiúhelníkových a osmiúhelníkových zonogonů získaných z obkladů z předchozí tabulky
Obklad získaný z obkladu se čtyřúhelníkovými a osmihrannými zonogony	Obklad získaný z obkladu se čtyřúhelníkovými, šestiúhelníkovými a osmiúhelníkovými zonogony
Rámce

Teselace

V obecném případě osmiúhelníkový zonogon definuje čtyři podobné obklady (existují dva způsoby, jak propojit samotné osmiúhelníky a ještě dvěma způsoby, pro každé umístění osmiúhelníků, seskupit zbývající části roviny do čtyřúhelníků a šestiúhelníků).	V obecném případě osmiúhelníkový zonogon definuje čtyři podobné obklady, jako v případě vlevo. V tomto obkladu, na rozdíl od toho vlevo, se čtyřúhelníky podílející se na vyplnění otvorů v „kroužcích“ osmi osmiúhelníků shodují s čtyřúhelníky vyplňujícími otvory v „krouzích“ čtyř osmiúhelníků – tato skutečnost ilustruje možnost dvojího vyplnění „prsteny“ ” osmi osmiúhelníků (ve druhé verzi by se jejich čtyřúhelníky shodovaly se čtyřúhelníky z „prstenců“ šesti osmiúhelníků).

Některé způsoby "odtlačování" teselací

Dlaždice lze „roztáhnout“ podél periodických řezů mezi polygony a vzniklé mezery lze vyplnit níže zobrazenými pruhy. V první tabulce předchozí části byl pravý obklad získán z levého pomocí

Metody s rovnoměrným střídáním stran
Období 1
Období 2
Období 3
Období 4		Pomocí tohoto pruhu lze levý obklad z prvního stolu v předchozí části změnit na pravý obklad stejného stolu.

Způsoby, kdy se strany setkávají v různých frekvencích
Období 4		Na okraji daného pruhu se jeden typ strany vyskytuje dvakrát častěji než kterýkoli z ostatních dvou.

Zobecnění

Zonoedr (zonotop) je mnohostěn , který je zobecněním zonogonu pro trojrozměrný prostor a prostory vyšší dimenze . Někdy zonoedr znamená pouze trojrozměrný mnohostěn a zonotop je mnohostěn libovolného rozměru.
Lze uvažovat o středově symetrickém mnohoúhelníku, který není konvexní nebo dokonce neprotínající se. V tomto případě pro něj budou pravdivé pouze první dvě definice z části „Ekvivalentní definice“, přičemž požadavky na konvexnost budou odpovídajícím způsobem odstraněny. V jistém smyslu takové mnohoúhelníky s několika stranami stále umožňují rovinné teselace.

Poznámky

↑ Monsky, Paul (1990), Steinova domněnka o rovinných disekcích , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , sv. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, s. 130 , ISBN 9780883850282
↑ Young, John Wesley & Schwartz, Albert John (1915), Rovinná geometrie , H. Holt, str. 121 , < https://books.google.com/books?id=PzEAAAAAYAAJ&pg=PA121 > Archivováno 18. března 2022 na Wayback Machine
↑ Beck, József (2014), Pravděpodobnostní diofantická aproximace: náhodnost v počítání bodů mřížky , Springer, str. 28, ISBN 9783319107417 , < https://books.google.com/books?id=4fawBAAAQBAJ&pg=PA28 > Archivováno 18. března 2022 ve Wayback Machine
↑ Andreescu, Titu & Feng, Zuming (2000), Matematické olympiády 1998-1999: Problémy a řešení z celého světa , Cambridge University Press, s. 125, ISBN 9780883858035 , < https://books.google.com/books?id=T0CnqnoKu6QC&pg=PA125 > Archivováno 18. března 2022 ve Wayback Machine