Inverze (geometrie)

Inverze (z latinského inversio „obrácení“) vzhledem ke kružnici je transformace euklidovské roviny , převádějící zobecněné kružnice (kruhy nebo přímky) na zobecněné kružnice, ve kterých je jeden z kruhů bodově přeložen do sebe.

Definice

Nechť je dán nějaký kruh v euklidovské rovině se středem (nazývaným inverzní pól , nebo inverzní centrum , tento bod je vyražen) a poloměrem . Inverze bodu vzhledem k je bod ležící na paprsku tak, že $\Gamma$ $Ó$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Inverze převádí vnitřní oblast kruhu na vnější a naopak.

Často se k rovině přidává „bod v nekonečnu“ a uvažuje se inverzně a - inverzně . V tomto případě je inverze bijektivní transformací této rozšířené "kruhové roviny" . $\infty$ $Ó$ $Ó$ $\infty$

Inverze euklidovského prostoru vzhledem ke kouli a inverze v euklidovských prostorech vyšších dimenzí jsou definovány podobně.

Vlastnosti

Inverze o kružnici se středem v O má následující základní vlastnosti: $\Gamma$

Inverze je involuce : jestliže bod P jde do bodu Q , pak bod Q jde do bodu P.
Čára procházející O jde do sebe.
Přímka neprocházející bodem O jde do kruhu procházejícího bodem O s proraženým bodem O ; a naopak, kružnice procházející O jde do přímky neprocházející O .
Kruh, který neprochází O , jde do kruhu, který O neprochází (a obraz jeho středu není středem obrazu).
Inverze je konformní mapování druhého druhu (tj. zachovává úhly mezi křivkami a obrací orientaci ).

Inverze s ohledem na Apolloniovu kružnici definovanou pomocí , zamění body a . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $A$ $B$
Kruh nebo čára kolmá k , jde do sebe. $\Gamma$

Poznámka

V teorii kruhů a inverze se říká, že dva kruhy, které se protínají v pravých úhlech , jsou ortogonální ( kolmé ). Kružnice lze považovat za ortogonální , pokud navzájem svírají pravý úhel . Úhel mezi křivkami je obvykle úhel mezi jejich tečnami nakreslenými v jejich průsečíku.
V teorii kruhů a inverze je přímka kolmá ke kružnici , pokud prochází středem kružnice. $\Gamma$

Konstrukce

Obrázek P' bodu P v inverzi kolem dané kružnice se středem O získáte následovně [1] :

Pokud je vzdálenost od P k O větší než poloměr kružnice, nakreslete tečnu ke kružnici z P , pak kolmice k přímce OP z bodu dotyku protne tuto přímku v požadovaném bodě P' .
Je-li vzdálenost od P do O menší než poloměr kružnice, nakreslete bod P a kolmo k OP a bodem jeho průsečíku s kružnicí k němu tečnu, která protne OP v požadovaném bodě P' .
Pokud je vzdálenost od P do O rovna poloměru kruhu, pak se obraz P bude shodovat se sebou samým.

Reprezentace souřadnic

Kartézské souřadnice

Inverze kolem jednotkové kružnice se středem v počátku je dána

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\vpravo)

Pokud je bod roviny dán jednou komplexní souřadnicí , pak tento výraz může být reprezentován jako $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

kde je komplexně konjugované číslo pro . Tato funkce komplexní proměnné je antiholomorfní , což znamená, že inverze je konformní. ${\barz}$ $z$

V obecném případě je inverze vzhledem ke kružnici se středem v bodě a poloměrem dána vztahem $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\right)

Polární souřadnice

Inverze kolem kruhu o poloměru se středem v počátku je dána $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Aplikace

Aplikace inverze řeší
- Apolloniův úkol ,
- Ptolemaiova identita .

Lipkin-Posselierův mechanismus je založen na vlastnostech inverze .

Pomocí inverze je dokázána Mohr-Mascheroniho věta , která říká, že všechny konstrukce, které lze provést pomocí kružítka a pravítka, lze provést pomocí jediného kružítka (přímka se považuje za postavenou, pokud jsou známy dva její body) [ 2] [3]

Existuje důkaz pro vlastnosti Apolloniovy kružnice na základě vlastnosti inverze. [čtyři]

Pomocí inverze je dokázán Steinerův porismus : důkaz využívá skutečnosti, že pro všechny neprotínající se kružnice existuje inverze, která je mění na kružnice soustředné.

Pomocí inverze je dokázáno, že dva Archimédovy dvojkruhy v arbelos jsou stejné . [2]

Pomocí inverze jsou dokázány vlastnosti kruhů v porismu Pappa Alexandrijského . [2]

Pomocí inverze je dokázána Butterfly Theorém . [2]

Variace a zobecnění

Inverze vzhledem ke kuželosečce

Je možné definovat inverzi vzhledem k libovolné nedegenerované kuželosečce , pouze s tím rozdílem, že veličinou bude (proměnná) vzdálenost od středu příslušné křivky (v případě elipsy a hyperboly ) k průsečíkům této křivky s úsečkou . $R$ $Ó$ $OP$

V případě inverze vzhledem k hyperbole, v závislosti na sektoru, ve kterém se nachází bod mezi asymptotami , je možný případ, kdy přímka hyperbolu neprotíná. Poté se pro výpočet vezme průsečík této přímky s konjugovanou hyperbolou (pokud bod neleží na asymptotě) a odpovídající hodnota se vezme se znaménkem mínus, to znamená, že paprsek směřuje ve směru naproti paprsku . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

Inverze kolem paraboly je jednoduše symetrický odraz kolem ní podél přímky rovnoběžné s osou paraboly.

Alternativní definicí je inverze vzhledem ke kuželosečce jako středu tětivy řezané polárním bodem vzhledem k . V případě, kdy se příslušná polára neprotíná , je pro úplnost definice nutné tuto částečnou definici aplikovat v opačném směru (tedy jde o takový bod, který je středem tětivy vyříznuté tetivou). polární na ), což není vždy vhodné. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Viz také

Inverzní geometrie
Inverze křivky

Poznámky

↑ Pogorelov A.V. Geometrie . - M .: Nauka , 1983. - S. 41 -42. — 288 s.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 „Geometrie“ od A. Yu.Davidova .

Odkazy

Anufrienko S. A. Symetrie vzhledem ke kruhu .
Bakelman I. Ya. Inverze . Populární přednášky z matematiky , sv. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M . : MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. Co je matematika? . - M . : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, § 4 .. - ISBN 5-900916-45-6.