Tangentní svazek

Tangentový svazek hladké manifoldy je vektorový svazek přes , jehož vlákno v bodě je prostor tečny v bodě . Tangentový svazek se obvykle označuje . $M$ $M$ $x\v M$ $T_{x}M$ $X$ $TM$

Prvkem celkového prostoru je dvojice , kde a . Tangentní svazek má přirozenou topologii (nikoli topologii disjunktivního sjednocení) a hladkou strukturu , díky čemuž se stává různou. Rozměr se rovná dvojnásobku rozměru . $TM$ $(x,\;v)$ $x\v M$ $v\in T_{x}M$ $TM$ $M$

Topologie a hladká struktura

Jestliže je -dimenzionální varieta, pak má atlas map , kde je otevřená podmnožina a $M$ $n$ $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ $U_{\alpha }$ $M$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

je homeomorfismus .

Tyto lokální souřadnice generují izomorfismus mezi a pro libovolné . Můžete definovat zobrazení $U$ $T_{x}M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\v U$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

jak

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\částečné _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Tato mapování se používají k definování topologie a hladké struktury na . $TM$

Podmnožina je otevřená tehdy a jen tehdy, je-li otevřena pro libovolné . Tyto mapy jsou homeomorfismy otevřených podmnožin a , takže tvoří mapy hladké struktury na . Přechodové funkce na průsečících map jsou dány Jacobiho maticemi odpovídajících transformací souřadnic, jde tedy o hladká zobrazení otevřených podmnožin . $A$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alpha$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Tangentní svazek je speciální případ obecnější konstrukce nazývané vektorový svazek . Tangentový svazek -rozměrné variety lze definovat jako vektorový svazek hodnosti nad , jehož přechodové funkce jsou dány jakobiánem odpovídajících transformací souřadnic. $n$ $M$ $n$ $M$

Příklady

Nejjednodušší příklad je získán pro . V tomto případě je tečný svazek triviální a izomorfní k projekci . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\to \mathbb{R} ^{n}$
Jednotkový kruh . Jeho tečný svazek je také triviální a izomorfní . Geometricky se jedná o válec nekonečné výšky (viz obrázek výše). $S^{1}$ $S^{1}\times \mathbb{R}$
Jednoduchý příklad netriviálního tečného svazku získáme na jednotkové sféře , tento tečný svazek je netriviální díky teorému o česání ježka . $S^{2},$

Bohužel lze nakreslit pouze tečné svazky skutečné čáry a jednotkové kružnice , což je obojí triviální. U 2-manifoldů je tečný svazek 4-manifold, takže je těžké jej znázornit. $R$ $S^{1}$

Vektorová pole

Vektorové pole je funkce hladkého vektoru na varietě, jejíž hodnota v každém bodě je vektorová tečna k , tedy hladké zobrazení . $M$ $M$

V\dvojtečka M\toTM

takový , že obraz , označený , leží v tečném prostoru v bodě . V jazyce místně triviálních svazků se takové mapování nazývá sekce . Vektorové pole na je část svazku tečny nad . $X$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $X$ $M$ $M$

Množina všech vektorových polí přes je označena . Vektorová pole lze přidávat bodově: $M$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

a násobit hladkými funkcemi zapnuto $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

získání nových vektorových polí. Množina všech vektorových polí pak získává strukturu modulu nad komutativní algebrou hladkých funkcí na (označeno ). $\Gamma (TM)$ $M$ $C^{\infty } (M)$

Pokud existuje hladká funkce, pak operace derivace podél vektorového pole dává novou hladkou funkci . Tento operátor diferenciace má následující vlastnosti: $F$ $X$ $xf$

Aditivita: . $X(f+h)=Xf+Xh$
Leibnizovo pravidlo : . $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Vektorové pole na manifoldu lze také definovat jako operátor s výše uvedenými vlastnostmi.

Lokální vektorové pole na je lokálním úsekem tečného svazku. Lokální vektorové pole je definováno pouze na nějaké otevřené podmnožině , a v každém bodě v , je určen vektor z odpovídajícího tečného prostoru. Sada místních vektorových polí na tvoří strukturu nazývanou tužka skutečných vektorových prostorů nad . $M$ $U$ $M$ $U$ $M$ $M$

Kanonické vektorové pole na TM

Na každém tečném svazku lze definovat kanonické vektorové pole. Pokud jsou lokální souřadnice na , pak vektorové pole má tvar $TM$ $(x,\;y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\částečné }{\částečné y^{i}}}\vpravo|_{{(x,\;y))).

$PROTI$ je displej . $V\colonTM\to TTM$

Existenci takového vektorového pole na lze přirovnat k existenci kanonické 1-formy na svazku kotangens . $TM$

Viz také

Rozdíl zobrazení
vektorové pole
Distribuce je dílčím svazkem tečného svazku
Kotangentní svazek
Sasakiho metrika je přirozená metrika na tečném svazku Riemannovy manifoldy.

Odkazy

Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
John M. Lee Úvod do Smooth Manifolds. - New York: Springer-Verlag, 2003. - ISBN 0-387-95495-3 .
Jurgen Jost. Riemannova geometrie a geometrická analýza. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-42627-2 .
Todd Rowland. Tangent Bundle (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Tangent Bundle (anglicky) na webu PlanetMath .