Tangentový vektor

Tangentní vektor je prvek tečného prostoru , například prvek tečné čáry ke křivce, tečné roviny k povrchu a tak dále.

Tečný vektor ke křivce

Nechť je funkce definována v nějakém okolí bodu a je v něm diferencovatelná : . $f\dvojtečka U(x_{0})\podmnožina {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}} (x_{0})$

Tečný vektor ke grafu funkce v bodě je vektor se složkami $F$ $x_{0}$

${\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{x }+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{y}$ .
Má -li funkce v bodě nekonečnou derivaci , pak tečný vektor $F$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty,$ ${\vec {e}}={\vec {e}}_{y}$ .

Obecná definice

Tangentní vektor k hladké varietě v bodě je operátor , který přiřazuje číslo každé hladké funkci a má následující vlastnosti: $M$ $p\in M$ $X$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $xf$

aditivnost: $X(f+h)=Xf+Xh,$
Leibnizovo pravidlo : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Množina všech takových operátorů v bodě má přirozenou strukturu lineárního prostoru, konkrétně: $p$

(X+Y)f=Xf+Yf;

(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\ \forall k\in \mathbb {R}

Sbírka všech tečných vektorů v bodě tvoří vektorový prostor , který se nazývá tečný prostor v bodě . Sbírka všech tečných vektorů ve všech bodech manifoldu tvoří vektorový svazek , který se nazývá tečný svazek . $p$ $p$

Tangentový vektor jako třída ekvivalence cesty

Koncept vektoru tečny k varietě v bodě zobecňuje koncept vektoru tečny k hladké cestě v prostoru R n . Nechť je v R n dána hladká cesta : ${\displaystyle \mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n))$

\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\tečky +f_ {n}(t)\mathbf {e} _{n}

Pak existuje jediná přímočará a rovnoměrná dráha , která se jí dotýká v čase t 0 : $\mathbf {l} (t)$

\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_ {0})\mathbf {e} _{1}+{\částečné f_{2} \over \částečné t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\tečky +{\částečné f_ {n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)

Dotknout se dvou cest a znamená, že ; relace tečnosti cest v bodě je relací ekvivalence . Vektor tečny v bodě x 0 lze definovat jako třídu ekvivalence všech hladkých cest procházejících bodem x 0 současně a navzájem se v tomto bodě dotýkají. $\mathbf {f} _{1}(t)$ $\mathbf {f} _{2}(t)$ $\mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})$

Tečný vektor k podvarietě

Vektor tečny v bodě hladké podvariety euklidovského prostoru je vektorem rychlosti v bodě nějaké křivky v . $p$ $M$ $p$ $M$

Jinými slovy, tečný vektor v bodě podvariety lokálně definovaný parametricky $p$

{\displaystyle r\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))

s ,

p=r(0)\

je libovolná lineární kombinace parciálních derivací . ${\frac {\partial r}{\partial x_{i))}(0)$

Poznámky

Pro tuto definici tečného vektoru stačí, aby podvarieta měla třídu hladkosti . $C^1$
Podle Whitneyho teorému o vkládání každá hladká n - rozměrná varieta připouští vložení do . Proto, aniž by došlo k porušení přísnosti, lze tuto definici použít pro jakýkoli hladký rozdělovač. Samozřejmě v tomto případě bude nutné prokázat nezávislost definice na vložení. $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 s.
Zorich V. A. Matematická analýza, svazek 1,2. — M .: Nauka , 1981.
Cartan A. Diferenciální počet. diferenciální formy. — M .: Mir , 1971.