Čtvercové trojúhelníkové číslo

V teorii čísel je čtvercové trojúhelníkové číslo (nebo trojúhelníkové čtvercové číslo ) číslo, které je jak trojúhelníkové , tak čtvercové . Čtvercových trojúhelníkových čísel je nekonečné množství.

Například číslo 36 je čtvercové ( ) i trojúhelníkové : $6\times 6$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

Čtvercová trojúhelníková čísla tvoří posloupnost:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, ... (sekvence A001110 v OEIS ).

Vzorce

Budeme psát N k pro k -té čtvercové trojúhelníkové číslo, s k a t k pro strany čtverce a trojúhelníku, pak

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Sekvence Nk , sk a tk jsou přítomny v OEIS ( A001110 , A001109 a A001108 , v tomto pořadí ).

V roce 1778 Leonhard Euler stanovil explicitní vzorec [1] [2] :12—13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Další ekvivalentní vzorce, které lze z tohoto vzorce odvodit:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\right)^{2}={1 \přes 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\right).\end{aligned}}

Odpovídající explicitní vzorce pro s k a tk [ 2 ] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ sqrt {2}}}}

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Pellova rovnice

Spojení čtvercových trojúhelníkových čísel s Pellovou rovnicí lze získat následovně [3] :

libovolné trojúhelníkové číslo má tvar t ( t + 1)/2, takže musíme najít t a s takové, že

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Vynásobením levé a pravé části 8 a výběrem celého čtverce dostaneme

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

dosazením nyní x = 2 t + 1 a y = 2 s dostaneme diofantinskou rovnici

x^{2}-2y^{2}=1,

což je Pellova rovnice . Řešením této rovnice jsou Pellova čísla P k [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

a proto jsou všechna řešení dána vzorci

s_{k}={\frac {P_{2k)){2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\vpravo)^{2}.

Existuje mnoho identit spojených s Pellovými čísly a výše uvedené vzorce je převádějí na identity se čtvercovými trojúhelníkovými čísly.

Opakující se vztahy

Existují rekurentní vztahy pro čtvercová trojúhelníková čísla, stejně jako pro strany odpovídajících čtverců a trojúhelníků. Máme [5] :( 12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2))}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

A také [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Další vlastnosti

Všechna čtvercová trojúhelníková čísla mají tvar b 2 c 2 , kde b / c je konvergentní hodnota pokračujícího zlomku druhé odmocniny z 2 [6] .

AV Sylwester podal krátký důkaz o nekonečnosti počtu čtvercových trojúhelníkových čísel, konkrétně [7] :

Pokud je trojúhelníkové číslo n ( n + 1)/2 čtverec, pak existuje větší trojúhelníkové číslo:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

A tato hodnota musí být čtverec, protože je součinem tří čtverců: (samozřejmě), (n-té trojúhelníkové číslo má být čtverec) a (samozřejmě). $2^{2}$ $(n(n+1))/2$ $(2n+1)^{2}$

Generující funkce pro čtvercová trojúhelníková čísla je [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Číselné hodnoty

Jak se k zvyšuje , poměr t k / s k inklinuje k , a poměr sousedních čtvercových trojúhelníkových čísel inklinuje k . ${\sqrt {2}}\cca 1,41421$ $17+12{\sqrt {2}}\cca 33,97056$

{\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& \\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&&1\,4\0,1\0,1&0 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}

Poznámky

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . Historie teorie čísel (anglicky) . - Providence: American Mathematical Society, 1999. - Sv. 2. - S. 16. - ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Snadné pravidlo pro diofantické problémy, které mají být rychle vyřešeny pomocí integrálních čísel) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - Sv. 4 . - str. 3-17 . . — „Podle záznamů předloženo do St. Petersburg Academy dne 4. května 1778.
↑ Barbeau, Edward. Pellova rovnice . - New York: Springer, 2003. - S. 16-17. — (Problémové knihy z matematiky). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E.M. Úvod do teorie čísel . — 5. - Oxford University Press , 1979. - S. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - "Věta 244".
↑ Weisstein, Eric W. Čtvercové trojúhelníkové číslo na webu Wolfram MathWorld .
↑ Ball, W.W. Rose ; Coxeter , HSM matematické rekreace a eseje . - New York: Dover Publications , 1987. - S. 59 . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M. Warten. Elementární problémy a řešení: E 1473, Čtvercová trojúhelníková čísla // American Mathematical Monthly : journal . - Mathematical Association of America, 1962. - Únor ( sv. 69 , č. 2 ). - S. 168-169 . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon Funkce generování 1031 (PDF) A.129. University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (srpen 1992). Získáno 11. května 2009. Archivováno z originálu 6. února 2013. (neurčitý)

Odkazy

Trojúhelníková čísla, která jsou také čtvercová Archivováno 27. dubna 2006 na Wayback Machine u cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Řešení Michaela Dummetta Archivováno 13. února 2021 na Wayback Machine

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare