Pell číslo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. prosince 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Pellovo číslo je celé číslo , které se objevuje jako jmenovatel v nekonečné posloupnosti konvergentů pro druhou odmocninu 2 . Tato posloupnost aproximací začíná následovně: , to znamená, že první Pellova čísla jsou 1, 2, 5, 12 a 29. Čitatele stejné posloupnosti aproximací jsou polovina doprovodných Pellových čísel nebo Pell-Lucových čísel - nekonečno sekvence začínající 2, 6, 14, 34 a 82. ${\frac {1}{1)),{\frac {3}{2)),{\frac {7}{5)),{\frac {17}{12)),{\frac {41}{29}},\tečky$

Obě posloupnosti, Pellova čísla a doprovodná Pellova čísla, lze vypočítat pomocí rekurentního vztahu , podobně jako vzorce pro Fibonacciho čísla , a obě posloupnosti čísel rostou exponenciálně , v poměru k síle stříbrné sekce . $1+{\sqrt 2}$

Kromě použití přiblížení k druhé odmocnině ze dvou v nepřetržitých zlomcích lze Pellova čísla použít k nalezení čtvercových trojúhelníkových čísel ak vyřešení některých kombinatorických problémů s výčtem [1] .

Posloupnost Pellových čísel je známá již od starověku. Stejně jako Pellova rovnice jsou Pellova čísla mylně připisována Leonhardem Eulerem Johnu Pellovi . Pell-Luc čísla jsou pojmenována po Eduardu Lucovi , který tyto sekvence studoval. Jak Pell čísla, tak doprovodná Pell čísla jsou speciální případy Lucasových sekvencí .

Pell čísla

Čísla pell jsou dána lineárním vztahem opakování :

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}

a jsou speciálním případem Lucasovy sekvence .

Prvních pár Pellových čísel

0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408, 985, 2378, … ( OEIS sekvence A000129 ).

Čísla pell mohou být vyjádřena vzorcem

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

Pro velké hodnoty n tomuto výrazu dominuje termín, takže Pellova čísla jsou zhruba úměrná mocninám stříbrného řezu , stejně jako Fibonacciho čísla jsou zhruba úměrná mocninám zlatého řezu . $\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n$ $\scriptstyle (1+\sqrt 2)$

Je možná i třetí definice – ve formě maticového vzorce

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end {pmatrix}}^{N-1}.

Z těchto definic lze prokázat mnoho identit, jako je identita analogická identitě Cassini pro Fibonacciho čísla,

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{N-1},

jako bezprostřední důsledek maticového vzorce (dosazení maticových determinantů vlevo a vpravo) [2] .

Aproximace k druhé odmocnině ze dvou

Pell čísla vznikla historicky z racionálních aproximací k druhé odmocnině 2 . Jestliže dvě velká celá čísla x a y dávají řešení Pellovy rovnice

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

pak jejich poměr dává blízkou aproximaci k . Posloupnost aproximací tohoto druhu $\tfrac{x}{y}$ $\scriptstyle\sqrt 2$

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

kde jmenovatel každého zlomku je Pellovo číslo a čitatel je součet Pellova čísla a jeho předchůdce v posloupnosti. Aproximace jsou tedy ve tvaru . $\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$

Přiblížení

\sqrt 2\approx\frac{577}{408}

tento typ znali matematici v Indii ve třetím nebo čtvrtém století před naším letopočtem [3] . Řečtí matematici pátého století před naším letopočtem si byli tohoto přiblížení také vědomi [4] . Platón označuje čitatele jako racionální průměry [5] . Ve druhém století našeho letopočtu použil Theon ze Smyrny termíny strana a průměr k popisu jmenovatele a čitatele této sekvence [6] .

Tyto aproximace lze odvodit z pokračovacího zlomku : $\scriptstyle\sqrt 2$

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\, }}}}}}.

Konečná část spojitého zlomku dává aproximaci ve formě Pellových čísel. Například,

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.

Jak napsal Knuth (1994), skutečnost aproximace Pellovými čísly umožňuje jejich použití pro racionální aproximaci k pravidelnému osmiúhelníku se souřadnicemi vrcholů a . Všechny vrcholy tohoto osmiúhelníku jsou stejně vzdálené od středu a svírají téměř stejné úhly. Také body , a tvoří osmiúhelník, jehož vrcholy jsou téměř stejně vzdálené od středu a tvoří stejné úhly. $\scriptstyle\sqrt 2$ $(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$ $(\pm(P_i+P_{i-1}),0)$ $(0,\pm(P_i+P_{i-1}))$ $(\pm P_i,\pm P_i)$

Jednoduché a čtverce

Prvočíslo Pellovo číslo je Pellovo číslo, které je také prvočíslo . Několik prvních Pellových premiér

2, 5, 29, 5741, … (sekvence A086383 v OEIS )

Stejně jako u Fibonacciho čísel může být i Pellovo číslo prvočíslo, pokud je prvočíslo samo n . $P_{n}$

Existují pouze tři Pellova čísla, což jsou čtverce, krychle a další vyšší mocniny - jsou to 0, 1 a 169 = 13 2 [7] .

Navzdory skutečnosti, že mezi Pellovými čísly je tak málo čtverců a jiných mocnin, mají úzký vztah ke čtvercovým trojúhelníkovým číslům [8] . Tato čísla pocházejí z následující identity:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+ P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.

Levá strana této identity dává čtvercové číslo , zatímco pravá strana dává trojúhelníkové číslo , takže výsledkem je čtvercové trojúhelníkové číslo.

Santana a Diaz-Barrero (2006) dokázali další identitu vztahující se k Pellovým číslům se čtverci tím, že ukázali, že součet Pellových čísel až je vždy čtverec: $P_{4n+1}$

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\vyberte 2r}\vpravo)^2 = (P_{2n}+ P_{2n+1})^2.

Například součet Pellových čísel až , , je druhou mocninou . $P_5$ $0+1+2+5+12+29=49$ $P_2+P_3=2+5=7$

Čísla , která tvoří druhé odmocniny těchto součtů, $P_{2n}+P_{2n+1}$

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (sekvence A002315 v OEIS ),

známý jako Newman-Shanks-Williams prvočísla .

Pythagorejské trojice

Pokud má pravoúhlý trojúhelník strany a , b , c (podle Pythagorovy věty a 2 + b 2 = c 2 ), pak ( a , b , c ) jsou známé jako Pythagorovy trojice . Martin (1875) píše, že Pellova čísla lze použít k vytvoření pythagorejských trojic, ve kterých se aab liší o jednu, což odpovídá téměř rovnoramennému pravoúhlému trojúhelníku. Každá taková trojka má tvar

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 – P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1} ).

Takto získaná sekvence pythagorejských trojic

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Pell-Luc čísla

Přidružená Pell čísla nebo Pell-Luc čísla jsou definována lineárním vztahem opakování :

Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n>1\end{cases}

To znamená, že první dvě čísla v posloupnosti jsou 2 a všechna ostatní jsou tvořena součtem dvojnásobku předchozího Pell-Lucova čísla a toho předcházejícího, nebo ekvivalentně sečtením dalšího Pellova čísla a předchozího čísla. . Společník pro 82 je tedy číslo 29 a 82 = 2 34 + 14 = 70 + 12.

Doprovodná čísla Pell tvoří sekvenci:

2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , ... ( sekvence OEIS A002203 )

Doprovodná Pellova čísla lze vyjádřit vzorcem:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

Všechna tato čísla jsou sudá, každé z nich je dvojitým čitatelem při aproximaci racionálními čísly na . $\scriptstyle\sqrt 2$

Výpočetní technika a komunikace

Následující tabulka uvádí prvních několik stupňů stříbrného řezu a související . $\delta=\delta_S=1+\sqrt2$ $\bar{\delta}=1-\sqrt{2}$

$n$	$(1+\sqrt{2})^n$	$(1-\sqrt{2})^n$
0	$1+0\sqrt{2}=1,0$	$1-0\sqrt{2}=1,0$
jeden	$1+1\sqrt{2}=2,41421\ldots$	$1-1\sqrt{2}=-0,41421\ldots$
2	$3+2\sqrt{2}=5,82842\ldots$	$3-2\sqrt{2}=0,17157\ldots$
3	$7+5\sqrt{2}=14,07106\ldots$	$7-5\sqrt{2}=-0,07106\ldots$
čtyři	$17+12\sqrt{2}=33,97056\ldots$	$17-12\sqrt{2}=0,02943\ldots$
5	$41+29\sqrt{2}=82,01219\ldots$	$41-29\sqrt{2}=-0,01219\ldots$
6	$99+70\sqrt{2}=197,9949\ldots$	$99-70\sqrt{2}=0,0050\ldots$
7	$239+169\sqrt{2}=478,00209\ldots$	$239-169\sqrt{2}=-0,00209\ldots$
osm	$577+408\sqrt{2}=1153,99913\ldots$	$577-408\sqrt{2}=0,00086\ldots$
9	$1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots$	$1393-985\sqrt{2}=-0,00035\ldots$
deset	$3363+2378\sqrt{2}=6725,99985\ldots$	$3363-2378\sqrt{2}=0,00014\ldots$
jedenáct	$8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots$	$8119-5741\sqrt{2}=-0,00006\ldots$
12	$19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots$	$19601-13860\sqrt{2}=0,00002\ldots$

Koeficienty jsou polovinou doprovodných Pellových čísel a Pellových čísel , což jsou nezáporná řešení rovnice . $H_n$ $P_{n}$ $H^2-2P^2=\pm1$

Čtvercové trojúhelníkové číslo je číslo , které je jak -tým trojúhelníkovým číslem, tak -tým čtvercovým číslem. Téměř rovnoramenné pythagorejské trojice jsou celočíselná řešení , kde . $N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ $t$ $s$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a+1=b$

Následující tabulka ukazuje rozklad lichých čísel na dvě téměř identické poloviny, což dává čtvercové trojúhelníkové číslo, když je n sudé, a téměř rovnoramennou pythagorejskou trojici, když je n liché. $H_n$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	A	b	C
0	jeden	0	0	0	0
jeden	jeden	jeden				0	jeden	jeden
2	3	2	jeden	2	jeden
3	7	5				3	čtyři	5
čtyři	17	12	osm	9	6
5	41	29				dvacet	21	29
6	99	70	49	padesáti	35
7	239	169				119	120	169
osm	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
deset	3363	2378	1681	1682	1189
jedenáct	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definice

Poloviny doprovodných čísel Pell a čísla Pell lze získat několika ekvivalentními způsoby: $H_n$ $P_{n}$

Umocnění :

(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}

(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Odkud to pochází:

H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

Párové recidivující vztahy :

H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}

nebo v maticové formě :

\begin{pmatrix} H_n \\ P_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n- 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Takto

\begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

Aproximace

Rozdíl mezi a je roven , což rychle směřuje k nule. Tak velmi blízko . $H_n$ $P_n\sqrt2$ $(1-\sqrt2)^n \přibližně (-0,41421)^n$ $(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2$ $2H_{n}$

Z tohoto pozorování vyplývá, že poměr celých čísel se rychle blíží a rychle se blíží . $\frac{H_n}{P_n}$ ${\sqrt 2}$ ${\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}$ ${\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}$ $1+{\sqrt {2}}$

H 2 − 2 P 2 = ±1

Protože je iracionální, nemůžeme získat , tedy . To nejlepší, co můžeme získat, je buď nebo . ${\sqrt 2}$ ${\frac {H}{P}}=2$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}$ $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}$

Nezáporná řešení jsou dvojice se sudým n a řešení jsou dvojice s n lichým. $H^{2}-2P^{2}=1$ $H_n, P_n$ $H^{2}-2P^{2}=-1$ $H_n, P_n$

Abyste tomu porozuměli, pozn

H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{ n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})

takže počínaje znakem se střídá ( ). Všimněte si nyní, že každé kladné řešení lze získat z řešení s menším indexem kvůli rovnosti . $H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1$ $jedenáct$ $(2P-H)^{2}-2(HP)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})$

Čtvercová trojúhelníková čísla

Požadovaná rovnost je ekvivalentní , která se stává při dosazení a . Proto n-té řešení bude a ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1$ $H^2=2P^2+1$ $H=2t+l$ $P=2s$ $t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}$ $s_n=\frac{P_{2n}}{2}.$

Všimněte si, že a jsou relativně prvočísla, takže je možné pouze tehdy, když jsou sousedními celými čísly, že jedno je čtverec a druhé je dvojitý čtverec . Protože známe všechna řešení rovnice, dostáváme $t$ $t+1$ ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $H^2$ $2P^2$

t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases}

a $s_{n}=H_{n}P_{n}$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	A	b	C
0	jeden	0
jeden	jeden	jeden	jeden	2	jeden	jeden	0	jeden
2	3	2	osm	9	6	3	čtyři	5
3	7	5	49	padesáti	35	21	dvacet	29
čtyři	17	12	288	289	204	119	120	169
5	41	29	1681	1682	1189	697	696	985
6	99	70	9800	9801	6930	4059	4060	5741

Pythagorova trojčata

Rovnost platí pouze pro , která se při dosazování změní na . Pak n-té řešení je a $c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1$ $2c^2=4a^2+4a+2$ $2P^2=H^2+1$ $H=2a+1 \mbox{ a } P=c$ $a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}$ $c_{n}={P_{2n+1}}.$

Výše uvedená tabulka ukazuje, že až do řádu velikosti , a jsou rovny a , while $a_n$ $b_n=a_n+1$ $H_nH_{n+1}$ $2P_nP_{n+1}$ $c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.$

Poznámky

↑ Například Sellers ( Sellers ) v roce 2002 ukázal, že počet dokonalých shod v kartézském součinu cest a grafu K 4 - e lze vypočítat jako součin Pellova čísla odpovídajícími Fibonacciho čísly.
↑ Maticový vzorec a jeho důsledky viz Ercolano (1979), Kilic a Tasci (2005). Další identity pro Pell čísla jsou uvedeny Horadamem (1971) a Bicknellem (1975).
↑ Toto je zaznamenáno v Shulba Sutras . Viz například Dutka (1986), který citoval Thibauta (1875)
↑ Viz Knorr (1976) pro odkaz na páté století, který odpovídá Proklovu tvrzení, že čísla byla objevena Pythagorejci . Pro úplnější studium pozdějších řeckých znalostí těchto čísel viz Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) a Filep (1999).
↑ Například v Platónově stavu je odkaz na „racionální průměr pěti“, čímž Platón myslel 7, čitatel aproximace 7/5.
↑ Historie řecké matematiky: Od Thalese k Euklidovi – Sir Thomas Little Heath – Google Books . Staženo: 28. ledna 2013. (neurčitý)
↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Přestože jsou Fibonacciho čísla definována rekurzivními vzorci velmi podobnými vzorcům Pellovým, Cohn píše, že podobné výsledky pro Fibonacciho čísla je mnohem obtížnější dokázat (v roce 2006 je však dokázal Bugeaud).
↑ Sesskin (1962).

Literatura

Bicknellová, Marjorie. Primer pro sekvenci Pell a příbuzné sekvence // Fibonacci Quarterly . - 1975. - T. 13 , no. 4 . - S. 345-349 .
Cohn, JHE Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal . - 1996. - T. 38 , no. 1 . - S. 19-20 . - doi : 10.1017/S0017089500031207 .
Dutka, Jacques. Na odmocniny a jejich reprezentace // Archiv pro dějiny exaktních věd . - 1986. - T. 36 , no. 1 . - S. 21-39 . - doi : 10.1007/BF00357439 .
Ercolano, Joseph. Maticové generátory Pellových sekvencí // Fibonacci Quarterly . - 1979. - T. 17 , no. 1 . - S. 71-77 .
Filep, Laszlo. Pythagorejská boční a diagonální čísla // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis . - 1999. - T. 15 . — S. 1–7 .
Horadam, A.F. Pell identity // Fibonacci Quarterly . - 1971. - T. 9 , no. 3 . - S. 245-252,263 .
Kilič, Emrah; Tasci, Dursun. Lineární algebra Pellovy matice // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , Tercera Serie. - 2005. - T. 11 , no. 2 . - S. 163-174 .
Knorr, Wilbur. Archimedes a měření kruhu: Nová interpretace // Archiv pro dějiny exaktních věd . - 1976. - T. 15 , no. 2 . - S. 115-140 . - doi : 10.1007/BF00348496 .
Knorr, Wilbur. "Racionální průměry" a objev nesouměřitelnosti // American Mathematical Monthly . - 1998. - T. 105 , no. 5 . - S. 421-429 . - doi : 10.2307/3109803 .
Knuth, Donald E. Leaperovy grafy // The Mathematical Gazette . - 1994. - T. 78 , no. 483 . - S. 274-297 . - doi : 10.2307/3620202 . - arXiv : math.CO/9411240 .
Martin, Artemasi . Racionální pravoúhlé trojúhelníky jsou téměř rovnoramenné // The Analyst . - 1875. - T. 3 , čís. 2 . - S. 47-50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Pethő, A. Množiny, grafy a čísla (Budapešť, 1991). — Colloq. Matematika. soc. János Bolyai, 60, North-Holland, 1992, s. 561-568.
Ridenhour, JR Ladder aproximace iracionálních čísel // Mathematics Magazine . - T. 59 , č.p. 2 . - S. 95-105 . - doi : 10.2307/2690427 . — .
Santana, S.F.; Diaz-Barrero, JL Některé vlastnosti součtů zahrnujících Pellova čísla // Missouri Journal of Mathematical Sciences . - 2006. - T. 18 , no. 1 . Archivováno z originálu 8. května 2007.
Prodejci, James A. Domino obklady a produkty Fibonacciho a Pellových čísel // Journal of Integer Sequences . - 2002. - T. 5 .
Sesskin, Sam. "Konverze" k poslední Fermatově větě? // Magazín Matematika . - 1962. - T. 35 , čís. 4 . - S. 215-217 . - doi : 10.2307/2688551 . — .
Thibaut, George. On the Súlvasútras // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal . - 1875. - T. 44 . - S. 227-275 .
Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Přebytek a nedostatek: aneb trochu více a trochu méně // Mind: New Series . - 1929. - T. 38 , čís. 149 . - S. 43-55 . — .
Vedova, GC Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly . - 1951. - T. 58 , čís. 10 . - S. 675-683 . - doi : 10.2307/2307978 . — .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Pell Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .