Kummer prsten

V obecné algebře je Kummerův kruh podkruhem kruhu komplexních čísel , jehož každý prvek má tvar $\mathbb {Z} [\zeta ]$

n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\

kde ζ jsou m -té kořeny jednoty , tj.

\zeta =e^{2\pi i/m}\

a všechna n k jsou celá čísla .

Kummer prsten je rozšíření kruhu celých čísel , proto zápis . Protože minimální polynom pro ζ je m- tý kruhový polynom , prsten je rozšíření o stupeň (zde φ znamená Eulerovu funkci ). $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$ $\phi (m)$

Pokus znázornit Kummerův prstenec v Argandově diagramu by mohl vytvořit něco jako gigantickou renesanční mapu s větrnými růžemi a loxodromy .

Sada jednotek prstenu Kummer obsahuje . Podle Dirichletovy jednotkové věty existují jednotky nekonečného řádu, kromě případů m =1 a m =2 (v kterých máme obvyklý kruh celých čísel ), a také případ m =4 ( Gaussova celá čísla ) a případy m = 3, m = 6 ( Eisensteinova celá čísla ). ${\displaystyle \{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\))$

Prsteny Kummer jsou pojmenovány po Ernstu Kummerovi , který studoval unikátní faktorizaci jejich prvků.

Viz také

Odkazy

Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) s. 149

Algebraická čísla
Odrůdy	Algebraická celá čísla Čebyševské uzly Konstruktivní čísla Ejzenštejnův celek Gaussova celá čísla Kummer prsten Perronova čísla Piso-Vijayaraghavan čísla Kvadratická iracionalita ℚ Kořeny z jednoty Salem čísla
Charakteristický	Conwayova konstanta 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2