Kompaktní operátor

Kompaktní operátor je koncept funkční analýzy. Kompaktní operátory přirozeně vznikají při studiu integrálních rovnic a jejich vlastnosti jsou podobné vlastnostem operátorů v konečných rozměrech. Kompaktní operátory jsou také často označovány jako zcela spojité .

Definice

Nechť jsou Banachovy prostory . O lineárním operátoru se říká , že je kompaktní , pokud mapuje jakoukoli omezenou podmnožinu na předkompaktní podmnožinu v . $X,Y$ $T:X\to Y$ $X$ $Y$

Tam je ekvivalentní definice používat ponětí o slabé topologii : lineární operátor je řekl, aby byl kompaktní jestliže jeho omezení k míči jednotky v je spojitá mapa s ohledem na slabou topologii v a topologii normy v . Je zřejmé, že vlastnost kompaktnosti je silnější než ohraničenost. $T:X\to Y$ $X$ $X$ $Y$

Sada kompaktních operátorů je označena . Je to podmnožina v prostoru omezených operátorů působících od do . $T:X\to Y$ ${\mathcal {K}} (X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Nejjednodušší vlastnosti

Každý zcela spojitý operátor je omezený, ale ne každý omezený operátor je zcela spojitý [1] .
Lineární kombinace zcela spojitých operátorů tvaru , kde jsou čísla, je také zcela spojitým operátorem [2] . $A,B$ $\alpha A+\beta B$ $\alpha ,\beta$
Nechť je zcela spojitý operátor mapující nekonečně- rozměrný Banachův prostor do sebe a nechť je libovolný lineárně ohraničený operátor definovaný na stejném prostoru. Potom a jsou zcela spojité operátory [2] . $A$ $B$ $AB$ $BA$
Pokud posloupnost zcela spojitých operátorů mapujících prostor do úplného prostoru konverguje jednotně k operátoru (tj. ), pak je to také zcela spojitý operátor. [2] [3] ${\displaystyle \left\{A_{n}\right\))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $A$
Je-li operátor kompaktní, pak je kompaktní i jeho soused .

Příklady

Nejsmysluplnější příklady kompaktních operátorů poskytuje teorie integrálních rovnic:

Vezměme libovolnou funkci . Potom je integrální operátor definovaný takto kompaktní: $g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Nechť má funkce g on body nespojitosti pouze na konečném počtu křivek. Pak je operátor , definovaný úplně stejně jako operátor v předchozím příkladu, již kompaktní v prostoru spojitých funkcí. $[0,1]\times [0,1]$ $T:C(0,1)\to C(0,1)$

Diagonální operátor odpovídající posloupnosti a jednající podle pravidla je omezený právě tehdy, když je posloupnost omezená, a kompaktnost je ekvivalentní konvergenci posloupnosti k nule. $T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2}$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky )$ $x=(x_{1},x_{2},\tečky )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\tečky )$ $\lambda$ $\lambda$

Invertibilní operátor je kompaktní právě tehdy, když je konečný. $A:X\to Y$ $X,Y$

Operátory konečných rozměrů

Je zřejmé, že jakýkoli lineárně ohraničený operátor s konečně-rozměrným obrazem je kompaktní (takové operátory se nazývají konečně -rozměrné ). Pro kompaktní operátor , kde je Hilbertův prostor, vždy existuje posloupnost konečněrozměrných operátorů, které konvergují k normě. To však neplatí pro libovolný prostor . Říká se, že Banachův prostor má vlastnost aproximace , pokud pro jakýkoli Banachův prostor může být libovolný kompaktní operátor aproximován konečněrozměrnými operátory. Existují oddělitelné Banachovy prostory, které nemají vlastnost aproximace. $T:X\to Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $X$ $T:X\to Y$

Vlastnosti prostoru kompaktních operátorů

Ze základních vlastností kompaktních operátorů okamžitě vyplývá, že je v . Lze však ukázat, že tento podprostor je uzavřený. V případě kdy nabývá prostor operátorů strukturu algebry (násobení je dáno složením operátorů). Pak je uzavřený oboustranný ideál v . ${\mathcal {K}} (X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

Aproximační vlastnost pro prostor lze formulovat následovně: pro jakýkoli Banachův prostor je prostor uzavřením prostoru konečněrozměrných operátorů od do . $Y$ $X$ ${\mathcal {K}} (X,Y)$ $X$ $Y$

Spektrální vlastnosti kompaktních operátorů

Buď kompaktní operátor. Potom je operátor noetherovský operátor indexu 0 (Fredholm). Konkrétně máme Fredholmovu alternativu pro : je surjektivní tehdy a jen tehdy, když je injektivní (alternativou je, že buď jádro není prázdné, nebo se obrázek shoduje s celým prostorem). V důsledku toho okamžitě získáme, že celé nenulové spektrum kompaktního operátoru je diskrétní (zbytková a spojitá spektra mohou obsahovat pouze nulu). Nula vždy patří do spektra operátoru v nekonečně-rozměrném případě (jinak by byl invertibilní operátor kompaktní) a nemusí být vlastní hodnotou operátoru . $T:X\to X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

V případě, že je operátor samoadjungovaný (zde Hilbert), máme navíc Hilbertovu - Schmidtův teorém : existuje konečný nebo spočetný ortonormální systém vektorů a posloupnost nenulových reálných čísel (stejné mohutnosti jako systém vektorů) , takže operátor jedná podle pravidla . Tato věta je přirozeným zobecněním podobné věty pro samoadjungované operátory v konečněrozměrném prostoru. Třída kompaktních operátorů je tedy z hlediska spektrálních vlastností podobná operátorům v konečněrozměrném prostoru. $T$ $X$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\tečky$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Třídy kompaktních operátorů

Dovolit být kompaktní operátor a být Hilbertovy prostory. Pak existuje dvojice konečných nebo počitatelných ortonormálních posloupností stejné mohutnosti uvnitř a dovnitř a nerostoucí posloupnost kladných reálných čísel (stejné mohutnosti) , která konverguje k nule, pokud je nekonečná, takže operátor jedná podle pravidla . Tato skutečnost je známá jako Schmidtova věta (ve formulaci je velmi podobná Hilbertově-Schmidtově větě a ve skutečnosti Schmidtova věta s drobnými úpravami pro samoadjungovaný operátor slouží jako důkaz pro Hilbert-Schmidtův teorém teorém). Je snadné ukázat, že čísla , která se nazývají Schmidtova čísla, jsou jednoznačně určena operátorem. $T:X\to Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $X$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\tečky$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\tečky$

Pokud konverguje pro operátor, pak se operátor nazývá Hilbert - Schmidtův operátor . Norma je zavedena vztahem a je generována skalárním součinem. Pokud konverguje , pak se operátor nazývá jaderný operátor nebo operátor se stopou . Na prostor provozovatelů jaderných zařízení je norma zavedena vztahem . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2))))$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n))$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Poznámky

↑ Krasnov, 1975 , s. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , str. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Prvky funkcionální analýzy, Nauka, 1965

Literatura

A. Ya, Helemsky. Přednášky o funkční analýze. - MTSNMO, 2014. - 552 s. - 2000 výtisků. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35 000 výtisků.
Krasnov M. L. Integrální rovnice. — M .: Nauka, 1975. — 304 s.