Torzní připojení

Torze afinního spoje je jednou z geometrických charakteristik spojů v diferenciální geometrii. Na rozdíl od pojmu křivosti , který má smysl pro spojení v libovolném vektorovém svazku nebo dokonce Ehresmannovo spojení v lokálně triviálním svazku, lze torzi definovat pouze pro spoje v tečném svazku (nebo obecněji ve svazcích vybavených mapování na tečnu – řekněme podsvazek kontaktů ).

Pokud je spoj v tečném svazku, jeho torzní tenzor je definován jako . $\nabla \colon \Gamma (TX\otimes TX)\to \Gamma (TX)$ $\mathrm {Tors} ^{\nabla }(u,v)=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u-[u,v]$

Přímým výpočtem je ověřeno, že daný operátor je lineární vzhledem k násobení funkcemi, a tedy skutečně definuje tenzor tvaru . Jinými slovy, k páru tečných vektorů v daném bodě torze spojuje tečný vektor šikmo symetrickým způsobem. $\Lambda ^{2}TX\to TX$

Příklad z klasické mechaniky a vysvětlení názvu

Nechť X je trojrozměrný euklidovský prostor, ve kterém je dán určitý souřadnicový systém. Definuje plošný spoj bez zkroucení: v každém bodě můžeme určit jednotkový vektor tečny směřující podél osy (resp. , ), a tato vektorová pole se komutují (tj. definují souřadnicový systém). $Vůl$ $Oj$ $Oz$

Nyní nechte tento souřadnicový systém měnit se s časem (to znamená, že nastavuje, jak říkají fyzici, referenční systém ). To umožňuje rozšíření plochého spojení na časoprostor tak, že vektorové pole je rovnoběžné se spojením. Kovariantní derivace budou ukazovat, jak se souřadnicový vektor otáčí v prostoru v průběhu času . Torze tohoto spojení je obecně řečeno nenulová. V omezení na každý časový okamžik, tedy na podvarietě , je spojení svou konstrukcí standardním plochým spojením v euklidovském prostoru a nemá torzi, ale výsledkem substituce je, obecně řečeno, ne -triviální tenzor . Tento tenzor se nazývá točivý moment . Torze spojení tedy zobecňuje koncept točivého momentu na případ, kdy z absolutního prostoru zbývá pouze zakřivený časoprostor s jeho plochými souřadnicemi a spojení bez torze jsou koncepty inerciálních vztažných soustav . $X\times From$ $\partial /\partial t$ $\nabla _{\partial /\partial t}v$ $proti$ $X$ $t=\mathrm {const}$ ${\displaystyle \iota _{\partial /\partial t}\mathrm {Tors} ^{\nabla ))$ $TX\to TX$

Vnitřní torze

Vzhledem ke geometrické struktuře na rozdělovači (například sadě tenzorů) by se člověk mohl divit, že existuje spojení bez torze, které tuto strukturu zachovává. Základní teorém Riemannovy geometrie říká, že pro Riemannovu metriku existuje a je jedinečné spojení bez torze, které ji zachovává. U jiných struktur to obecně neplatí.

Příklad. Nechte různý a buďte podsvazek. Jestliže v existuje spojení s nulovou torzí takové, že (to znamená, že vektorová pole z zůstávají v , pod paralelním překladem ), pak (a tedy podle Frobeniovy věty existuje rodina podvariet taková, že pro všechny ). $X$ $F\subset TX$ $TX$ $\nabla$ $\nabla F=0$ $F$ $F$ $[F,F]\subseteq F$ $Y_{x}\subset X$ $T_{x}(Y_{x})=F_{x}\subset T_{x}X$ $x\in X$

Důkaz. Jestliže zachová , pak pro dvě vektorová pole máme . Pokud kroucení zmizí, pak , odkud, kvůli libovůli volby , máme . □ $\nabla$ $F$ $u,v\in \Gamma (F)$ $\nabla _{x}y\in \Gamma (F),\nabla _{y}x\in \Gamma (F)$ $\nabla$ $[u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u\in \Gamma (F)$ $u,v$ $[F,F]\subset F$

Příklad. Nechat různý a být diferenciální tvar na něm. Pokud existuje spojení s nulovou torzí v takovém, že , pak je tento tvar uzavřen: . $X$ $\alpha \in \Omega ^{p}(X)$ $p$ $TX$ $\nabla$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Důkaz. Dosazením výrazu (explicitně zapsané rovnice ) do vzorce pro de Rhamův diferenciál máme . □ $\nabla _{v}(\alpha (u_{1},\tečky ,u_{p))=\sum _{i=1}^{p}\alpha (u_{1},\tečky, u_{i-1},\nabla _{v}u_{i},u_{i+1},\tečky ,u_{p})$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Řekněme, že pro nedegenerované diferenciální 2-formy je existence torzního spojení, s nímž jsou paralelní, ekvivalentní symplekticitě této formy. Jinými slovy, na rozdíl od spojení Levi-Civita, symplektická spojení neexistují pro každou 2-formu, ale pouze pro symplektické formy, a pokud existují, pak nejsou jedinečná. Podobně, na téměř komplexních manifoldech , existence spojení bez torze, které zachovává tenzor téměř složité struktury, je ekvivalentní manifoldu připouštějícímu komplexní analytické mapy .

Toto má následující algebraické pozadí. Nechť existuje Lieova algebra působící ve vektorovém prostoru , tedy zobrazení . Zvažte mapování , šikmou symetrizaci v posledních proměnných a označte jádro a kokernel této šipky pomocí a . Nyní nechť je to varieta, jejíž tečný svazek je vybaven akcí Lieovy grupy, jejíž algebra je . Přesná sekvence se pak změní na přesnou sekvenci vektorových svazků: . Pokud jsou dvě spojení, která zachovávají -strukturu, pak je jejich rozdíl prvkem v . Třetí člen této sekvence obsahuje torze všech možných spojení; rozdíly torzních vazeb tvoří její prvky pocházející z předchozího termínu, a tedy přesně ty, které jsou anulovány mapováním na kokernel. Odpovídající úsek svazku zkonstruovaný z -struktury je tedy nezávislý na volbě -spojení a nazývá se vnitřní torze -struktury. Různé úseky zase odpovídají nejednoznačnosti volby -konektivity s danou torzí. $\mathfrak{g}$ $PROTI$ ${\mathfrak {g}}\to V\otimes V^{*}$ ${\mathfrak {g}}\otimes V^{*}\to V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K$ $C$ $X$ $G$ $\mathfrak{g}$ $0\to K\to {\mathfrak {g}}\otimes T^{*}\to T\otimes \Lambda ^{2}T^{*}\to C\to 0$ $\nabla ,\nabla '$ $G$ $\nabla -\nabla '$ $\Omega ^{1}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes T^{*}$ $G$ $C$ $G$ $G$ $G$ $K$ $G$

Například pro a jeho tautologické znázornění je zobrazení izomorfismus, a tedy . Toto je základní teorém Riemannovy geometrie: existuje ortogonální spojení bez torze a je jedinečné. Neboť kokernel je izomorfní ke svazku 3 forem a vnitřní torze spojení je diferenciální . U téměř složité struktury je vnitřní torze jejím Nijenhuisovým tenzorem , pro rozdělení jejím Frobeniovým tenzorem . ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(n)$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak {so}}(n)\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K=C=0$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sp}}(2n)$ $\Lambda ^{3}V^{*}$ $\omega$ $d\omega \in \Omega ^{3}(X)$ $\Lambda ^{2}T^{1,0}\to T^{0,1}$ $F\subset TX$ $\Lambda ^{2}F\to TX/F$

Paralelnost téměř symplektické formy (nebo operátoru téměř složité struktury) na téměř hermitovské varietě s ohledem na spojení Levi-Civita znamená, že jde o kählerian . V nekählerovské geometrii je užitečné uvažovat spojení s nenulovou torzí. Na jakékoli komplexní hermitovské varietě tedy existuje jedinečné spojení, vzhledem k tomu, že metrika, téměř symplektická forma a komplexní struktura jsou paralelní, pro kterou je torze (považovaná metrikou za 3-tensor) zkosená. symetrický ve všech třech argumentech. Takové spojení se nazývá vizmutové spojení .

Literatura

Bishop R. L. , Crittenden R. J. Geometrie manifoldů. — 1967.