Lineární rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Lineární rovnice je algebraická rovnice , jejíž celkový stupeň polynomů , které ji tvoří , je 1. Lineární rovnice může být reprezentována jako:

v obecné podobě: ; $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}+b=0$
v kanonické podobě: , $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}=-b$

kde jsou proměnné (nebo neznámé) veličiny (také známé jako kořeny lineární rovnice) a jsou konstanty nebo koeficienty, což jsou reálná čísla . Koeficienty se mohou kvalifikovat jako parametry v rovnici a mohou být libovolným výrazem, pokud samy neobsahují proměnné. Aby rovnice dávala smysl, koeficienty nesmí být nulové. Také, lineární rovnice může být získána tím, že se rovná lineární polynomial k nule přes nějaké pole, od kterého koeficienty jsou vzaty pro polynomial. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$

Řešení rovnice je nalezení takových hodnot proměnných, které by po dosazení daly správnou rovnost. Pokud existuje pouze jedna proměnná, pak existuje pouze jedno řešení pro lineární rovnici (za předpokladu, že ). Často se podobným rovnicím s jedním „neznámým“ říká „lineární rovnice“. Pokud existují dvě proměnné, pak jakékoli řešení lze ilustrovat a ověřit pomocí pravoúhlého souřadnicového systému ve dvourozměrném (euklidovském) prostoru . Řešení jedné lineární rovnice je pro tuto rovnici znázorněno jako svislá čára v pravoúhlém souřadnicovém systému, ale stejná přímka může být ilustrací řešení jiné rovnice. Každou přímku lze považovat za množinu všech řešení lineární rovnice ve dvou proměnných, proto se takové rovnice nazývají lineární. Obecně platí, že množina řešení lineární rovnice s n proměnnými tvoří nadrovinu (podprostor dimenze n-1 ) v euklidovském prostoru dimenze n . $a_1\ne0$

Lineární rovnice se používají absolutně ve všech oblastech matematiky a jejich aplikacích ve fyzice a inženýrství, částečně proto, že nelineární systémy lze často dobře „aproximovat“ a zjednodušit lineárními rovnicemi. Množina ve formě dvou nebo více lineárních rovnic, pro kterou je třeba najít konkrétní řešení, je soustava lineárních algebraických rovnic .

Rovnice s jednou proměnnou

Matematický popis

Rovnice má tvar: její řešení je redukováno na tvar: v obecném případě, když a ≠ 0 . V tomto případě se proměnná x nazývá "neznámá" . Pokud a = 0 , pak jsou možné dvě možnosti. Pokud se b také rovná nule, existuje nekonečně mnoho řešení, protože jakékoli číslo je řešením. Ale pokud b ≠ 0 , pak rovnice nemůže mít kořeny, protože . V druhém případě je taková rovnice nekonzistentní $ax+b=0,$ $x=-{\frac {b}{a}}$ $\not \exists x\in {\mathbb R}:0\cdot x=-b\neq 0$ (tj. nemůžete si vybrat proměnnou, aby byla rovnost pravdivá) [1] .

Příklady řešení

Lineární rovnice je dána jako výsledek násobení dvou čísel; jeden z faktorů je znám, druhý neznámý, ale výsledek je znám.

3\cdot x=24

V tomto případě, abychom našli neznámý faktor , musí být výsledek násobení 24 vydělen známým faktorem 3 . Výsledek operace dělení bude 8 jako kořen této rovnice. $X$

x={\frac {24}{3}}=8

Lineární rovnice tohoto typu

0\cdot x=7,

nemá řešení, protože výsledek vynásobení libovolného čísla 0 vždy dává 0. Zároveň rovnice tvaru

0\cdot x=0

má nekonečně mnoho řešení. Proto pro něj může být libovolné číslo. $X$

Rovnice se dvěma proměnnými

Popis v obecných a kanonických formách

Pokud jsou v rovnici dvě proměnné, lze lineární rovnici reprezentovat v obecném tvaru: , kde proměnné jsou x a y a koeficienty jsou a , b a c . V kanonickém tvaru má tato rovnice tvar pro A = a , B = b a C = – c [2] . $ax+by+c=0$ $Ax+By=C,$

Řešení nebo kořeny takové rovnice se nazývá taková dvojice hodnot proměnných , která ji promění v identitu . Lineární rovnice se dvěma proměnnými má nekonečný počet takových řešení (kořenů) . $(x; y)$

Existují i jiné formy lineární rovnice, na které ji lze redukovat pomocí jednoduchých algebraických transformací (přidání stejné hodnoty do rovnice, násobení nebo dělení stejným číslem, které se nerovná nule atd.)

Příklad

Je dána lineární rovnice:

3\cdot x+4\cdot y=12

Chcete-li určit množinu všech řešení, můžete rovnici transformovat na funkci v závislosti na . V tom případě bude $y$ $t$

x=t

a při

y=(12-3\cdot t)/4

t\in \mathbb {R}

Takto se zobrazí graf této funkce, včetně všech dvojic x a y , čímž se rovnice změní na správnou rovnost:

f(x)=(12-3\cdot x)/4=-(3/4)\cdot x+3

Lineární funkce

Jestliže b ≠ 0 , pak rovnici lze zredukovat do takového tvaru, že hodnota y závisí na x . Rovnice pak může být reprezentována ve formě lineární funkce , kde (nebo okamžitě ). Graf funkce v tomto případě (tj. geometrický model nebo ilustrace pro tuto rovnici) je přímka typu , kde k je sklon (aka ) a m = je souřadnice průsečíku graf s osou y . $ax+by+c=0$ $y=kx+m$ $k=-{\frac {a}{b));\ m=-{\frac {c}{b}}$ $y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$ $y=kx+m$ $-{\frac {a}{b))$ $-{\frac {c}{b))$

V matematické analýze jsou lineární funkce ty funkce, jejichž graf je přesně rovný. V lineární algebře je lineární funkce funkcí, která zobrazuje součet na součtu obrazů termínů. V lineární algebře je tedy funkce lineární, jestliže c = 0 a její graf prochází počátkem. Aby nedošlo k záměně, funkce, jejichž grafy jsou libovolné čáry, se nazývají afinní.

Geometrický smysl

Libovolná dvojice ( x , y ) , která je řešením rovnice, se může projevit v pravoúhlém souřadnicovém systému jako bod ve dvourozměrném prostoru. V tomto případě všechna řešení rovnice tvoří přímku za předpokladu, že a a b jsou nenulové. Platí to i naopak, že každý řádek je množinou řešení lineární rovnice. Samotné slovní spojení „lineární rovnice“ má své kořeny ve vztahu mezi přímkami a rovnicemi: lineární rovnice se dvěma proměnnými je rovnice, jejíž všechna řešení jsou graficky znázorněna přímkou. $ax+by+c=0$

V případě b ≠ 0 je přímka grafem funkce x popsaným výše. Jestliže b = 0 , pak přímka bude vertikální, rovnoběžná s osou y , pro rovnici , která není grafem funkce x . Pokud tedy a ≠ 0 , pak je přímka grafem funkce y , a pokud a \u003d 0 , pak vodorovná přímka rovnoběžná s osou x pro rovnici $x=-{\frac {c}{a)),$ $y=-{\frac {c}{b)).$

Rovnice se třemi nebo více proměnnými

Lineární rovnice obsahující více než dvě proměnné může mít tvar . Koeficient b , někdy označovaný jako a 0 , je volný termín . Koeficienty lze v tomto případě nazvat všechny proměnné typu ai za předpokladu i > 0 . V rovnicích se třemi neznámými se ty druhé označují písmeny a . $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$ $x,\;y$ $z$

Řešením takové rovnice je taková n -tice, nahrazení každého prvku odpovídající proměnnou by transformovalo rovnici na skutečnou rovnost. Aby rovnice dávala smysl, musí být alespoň jeden koeficient proměnné nenulový. Pokud jsou všechny koeficienty proměnných rovny nule, pak buď bude rovnice nekonzistentní (pro b ≠ 0 ), protože nemá řešení, nebo bude řešením této rovnice jakákoli n -tice . Všechny n -tice, které jsou řešením lineární rovnice s n proměnnými , jsou souřadnicemi bodů v souřadnicovém systému pro ( n − 1) -rozměrnou nadrovinu v n -rozměrném euklidovském prostoru (nebo afinním prostoru , pokud jsou koeficienty komplexní čísla nebo patří do jakéhokoli oboru). V případě tří proměnných se tato nadrovina stává rovinou (podle jednoho z axiomů euklidovské geometrie ).

Jestliže v lineární rovnici a j ≠ 0 , pak existuje řešení této rovnice pro x j Pokud jsou koeficienty reálná čísla, pak je takto definována funkce s reálnou hodnotou pro n reálných proměnných $x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\součet _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac { a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$ .

Příklad

Je dána lineární rovnice se třemi neznámými:

3\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+x_{3}=7

Řešením této rovnice bude rovina , která obsahuje tři body typu:

{\displaystyle x_{1}=t_{1},\;x_{2}=t_{2},\;x_{3}=7-3\cdot t_{1}-2\cdot t_{2))

v .

t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}

Viz také

Lineární rovnice nad prstencem
Algebraická rovnice
Lineární nerovnost

Poznámky

↑ Rovnice je nekonzistentní Archivováno 19. ledna 2018 na Wayback Machine (ruština)
↑ Barnett, Ziegler, Byleen, 2008 , str. patnáct.

Literatura

R. A. Barnett, M. R. Ziegler, K. E. Byleen. Vysokoškolská matematika pro obchod, ekonomiku, přírodní vědy a společenské vědy. — 11. - Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2008. - ISBN 0-13-157225-3 .
Ron Larson, Robert Hostetler. Precalculus: Stručný kurz . - Houghton Mifflin, 2007. - ISBN 978-0-618-62719-6 .
W. A. Wilson, J. I. Tracey. Analytická geometrie . — revidováno. — DC Heath, 1925.
Manfred Leppig. Naučte se matematiku. - Girardet, 1981. - S. 61-74. — ISBN 3-7736-2005-5 .
Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol . - ed. 13. — M .: Nauka, 1986. — 544 s.
Helmuth Preckur. Lineární algebra a analytická geometrie. - München: Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50), 1983. - S. 72-85, 106-114. — ISBN 3-580-64500-5 .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Lineární rovnice , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Algebraické rovnice
Lineární rovnice Kvadratická rovnice kubická rovnice Rovnice čtvrtého stupně Rovnice pátého stupně Rovnice šestého stupně Rovnice sedmého stupně