V matematice , na poli teorie grup , lokálně konečná grupa je určitým způsobem (jako indukční limita ) sestavená z konečných grup . Pokud jde o konečné grupy, pro lokálně konečné grupy jsou studovány Sylowovy podgrupy , Carterovy podgrupy atd.
Nejčastěji se používají následující definice:
Lokálně konečná grupa je grupa, jejíž každá konečně generovaná podgrupa je konečná.
Lokálně konečná grupa je grupa, pro kterou je každá konečná podmnožina obsažena v konečné podgrupě .
Tyto definice jsou ekvivalentní.
Příklady:
Schmidtův teorém : třída lokálně konečných grup je uzavřena s ohledem na podgrupy, faktorové grupy a rozšíření [4] .
Každá skupina má jedinečnou maximální lokálně konečnou podgrupu [5] .
Každá nekonečná lokálně konečná grupa obsahuje nekonečnou abelovskou podgrupu [6] .
Jestliže lokálně konečná grupa obsahuje konečnou maximální p-podgrupu , pak všechny její maximální p-podgrupy jsou sdružené, a je-li jejich počet konečný, pak je kongruentní s 1 modulo p (viz také Sylowovy věty ).
Jestliže každá spočetná podgrupa lokálně konečné grupy obsahuje nanejvýš spočetný počet maximálních p-podgrup , pak všechny její maximální p-podgrupy jsou konjugované [4] .