Kvazicyklická skupina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. února 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Kvazicyklická p - skupina pro pevné prvočíslo p je jedinou p - skupinou , ve které lze z libovolného prvku získat přesně p kořeny p -tého stupně. Obvykle se označuje jako Z ( p ∞ )

Kvazicyklická p - skupina se také nazývá Pruferova p -skupina podle německého matematika Heinze Prüfera .

Vlastnosti

Kvazicyklická p - skupina může být reprezentována jako podgrupa U(1) sestávající z komplexních kořenů jednoty stupně p n , kde n prochází všemi přirozenými čísly:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ mathbb {N} \}.\;

Ekvivalentně lze na kvazicyklickou p - skupinu nahlížet jako na podskupinu Q/Z sestávající z prvků, jejichž řád je mocninou p :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

Také Pruferova p -grupa může být dána generátory a vztahy:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\tečky \,\rangle .

Kvazicyklická p - skupina je jediná nekonečná p - skupina, která je lokálně cyklická (tj. taková, že jakákoli konečná podmnožina jejích prvků vytváří cyklickou skupinu ). Je snadné vidět, že všechny správné podskupiny kvazicyklické skupiny jsou cyklické.

Kvazicyklická skupina je dělitelná .

V teorii lokálně kompaktních topologických grup je kvazicyklická p -grupa vybavená diskrétní topologií Pontryaginovou dvojicí ke kompaktní skupině p -adických celých čísel .

Kvazicyklické p - grupy pro všechna možná prvočísla p jsou jediné nekonečné grupy takové, že množina jejich podgrup je lineárně uspořádána vložením:

0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).

Na tomto řetězci inkluzí je Pruferova p -grupa reprezentována jako přímá limita jejích konečných podgrup.

Jako -modul je Pruferova p -skupina artinská , ale ne noetherovská (podobně je artinská , ale ne noetherovská ). Jako takový je protipříkladem k možnému tvrzení, že jakýkoli Artinian je noetherovský modul. $\mathbb {Z}$

Odkazy

kvazicyklická skupina (anglicky) na webu PlanetMath .
N. N. Williams. Kvazicyklická skupina na webu Wolfram MathWorld .
Jacobson, Nathan. Základní algebra . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Abstraktní algebra. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost a WL Armacost. O p-tetických skupinách (anglicky) // Pacific J. Math .. - 1972. - Sv. 41, č. 2 . - S. 295-301.