Místní pole

Lokální pole je specifický typ pole s topologií , často se objevující jako kompletace polí.

Definice

Lokálně kompaktní topologické pole s nediskrétní topologií se nazývá lokální .

Typy

Existují dva hlavní druhy místních polí: ta, kde je absolutní hodnota Archimédova , a ta, kde není. První jmenovaná se nazývají archimedovská místní pole , zatímco ta druhá se nazývají nearchimedovská místní pole .

Jakékoli místní pole je izomorfní (jako topologické pole) k jednomu z následujících polí:

Archimedova lokální tělesa ( charakteristika je nula): těleso reálných čísel a těleso komplexních čísel . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Nearchimedovská lokální tělesa charakteristické nuly: p -adická čísla a jejich konečná rozšíření . $\Q_p$
Nearchimedovská lokální pole charakteristiky : formální Laurentovy řady nad konečným polem a jejich konečná rozšíření . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Vlastnosti

Obecné vlastnosti

Aditivní grupa lokálního pole, stejně jako jakákoliv lokálně kompaktní topologická grupa , má jedinečnou (až do vynásobení kladným číslem) Haarovu míru μ.
V libovolném místním poli můžete zadat absolutní hodnotu , např $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

pro nějakou (a tedy jakoukoli) měřitelnou podmnožinu s nenulovou konečnou Haarovou mírou.

X\subset K

Nearchimedovská pole

V nearchimedovském místním poli s absolutní hodnotou lze uvést následující definice: $K$ $|{*}|$
- Kruh celých čísel ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Tvoří diskrétní normovaný prstenec a kompaktní kouli v . $(K,|{*}|)$
- Jednotky v kruhu celých čísel jsou definovány jako . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - Tvoří skupinu a jednotkovou sféru v . $(K,|{*}|)$
- Jediným nenulovým prvočíslem v kruhu celých čísel je koule s otevřenou jednotkou $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

a jeho formovací prvek se nazývá uniformizační prvek .

\omega \in {\mathfrak {m))

K

Zbytkové pole je konečné, protože je kompaktní a diskrétní . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
V tomto případě , kde je mocnina pole reziduí . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Každý nenulový prvek lze zapsat jako , kde je prvek identity, je celé číslo jednoznačně určené pomocí . $v K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $A$
- Zejména $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Viz také

globální pole