Hilbertova matice

V lineární algebře je Hilbertova matice (představená Davidem Hilbertem v roce 1894 ) čtvercová matice H se záznamy:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1)),i,j=1,2,3,...,n

Například Hilbertova matice 5×5 je:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 }{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

Hilbertovu matici lze vidět jako získanou z integrálů:

H_{{ij}}=\int _{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

tedy jako na Gramově matici pro mocniny x . Vzniká při aproximaci funkcí polynomy metodou nejmenších čtverců .

Hilbertovy matice jsou standardním příkladem špatně podmíněných matic, což ztěžuje jejich výpočet pomocí výpočetně nestabilních metod. Například číslo podmínky vzhledem k normě pro výše uvedenou matici je 4,8 · 10 5 . $\left\|\cdot \right\|_{2}$

Historie

Hilbert (1894) zavedl Hilbertovu matici při studiu následující otázky: „Předpokládejme, že I = [ a , b ] je reálný interval. Je pak možné najít nenulový polynom P s celočíselnými koeficienty tak, že integrál

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

by bylo menší než jakékoli dané číslo ε > 0?" Aby odpověděl na tuto otázku, Hilbert odvodil přesný vzorec pro determinant Hilbertových matic a studoval jejich asymptotiku. Došel k závěru, že odpověď je kladná, pokud je délka intervalu b − a < 4 .

Vlastnosti

Hilbertova matice je symetrická pozitivně definitní matice. Navíc Hilbertova matice je zcela pozitivní matice.

Hilbertova matice je příkladem Hankelovy matice .

Determinant Hilbertovy matice lze vyjádřit explicitně jako speciální případ Cauchyho determinantu . Determinant n × n Hilbertovy matice je

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \over {c_{{2n}}}},

kde

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.

Již Hilbert si všiml zvláštního faktu, že determinant Hilbertovy matice je převrácená hodnota celého čísla (viz sekvence A005249 v OEIS ). Vyplývá to z rovnosti

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \vyberte [i/2]}.

Pomocí Stirlingova vzorce můžeme stanovit následující asymptotický výsledek:

\det(H)\přibližně a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

kde a n konverguje ke konstantě v , kde A je Glaisher-Kinkelinova konstanta . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\cca 0,6450$ $n\rightarrow\infty$

Matici inverzní k Hilbertově matici lze vyjádřit explicitně pomocí binomických koeficientů :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \vyberte nj}{n+j -1 \vyberte ni}{i+j-2 \vyberte i-1}^{2}

kde n je řád matice. Prvky inverzní matice jsou tedy celá čísla. $H^{{-1}}$

Číslo podmínky n × n Hilbertovy matice roste s . $O((1+{\sqrt {2}})^{{4n}}/{\sqrt {n}})$

Viz také

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"

Odkazy

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms , Acta Mathematica (Springer Nizozemsko). — T. 18: 155–159, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02418278 . Přetištěno v Hilbert, David. článek 21 // Sebrané referáty (neopr.) . - T. II.
Beckermann, Bernard. Podmínkové číslo skutečné Vandermondovy, Krylovovy a pozitivně definitní Hankelovy matice // Numerische Mathematik : deník. - 2000. - Sv. 85 , č. 4 . - str. 553-577 . - doi : 10.1007/PL00005392 .
Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix // American Mathematical Monthly : journal . - 1983. - Sv. 90 , č. 5 . - str. 301-312 . - doi : 10.2307/2975779 . — .
Todd, John. Číslo podmínky konečného segmentu Hilbertovy matice // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series: journal. - 1954. - Sv. 39 . - str. 109-116 .
Wilf, H.S. Konečné části některých klasických nerovností . - Heidelberg: Springer, 1970. - ISBN 3-540-04809-X .