Monoid (teorie kategorií)

V teorii kategorií je monoid v monoidní kategorii objekt M spolu se dvěma morfismy $(M,\mu ,\eta )$ $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$

$\mu :M\otimes M\to M$ (nazývané násobení ),
a (nazývaná jednotka ), $\eta :I\to M$

tak, že následující pětiúhelníkový diagram

stejně jako schéma

jsou komutativní . Zápis je stejný jako v článku Monoidální kategorie : I je jednotka kategorie, , a jsou asociátor a morfismy odpovídající levému a pravému násobení jednou. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$

Duálně , comonoid v monoidální kategorii C je monoid v duální kategorii . $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$

Nechť kategorie C má také transformaci symetrie . Potom se o monoidu říká , že je symetrický $\gamma$ $M$

\mu \circ \gamma =\mu

Příklady

Monoid v kategorii Set (považovaný za monoidní kategorii s ohledem na přímý součin ) je monoid v obecném algebraickém smyslu.
Monoid v kategorii abelovských grup (s tensorovým součinem jako -moduly) je kruh . $\mathbb {Z}$
Z Eckmann-Hiltonovy věty vyplývá, že monoid v kategorii kruhů (s jednotkou) je komutativní kruh .
Monoid v kategorii modulů přes komutativní prsten R je R - algebra .
Monoid v kategorii vektorových prostorů nad polem k - k - algebra , respektive komonoid - k - coalgebra .
Pro libovolnou kategorii C má kategorie [C,C] endofuktorů ( funktory samy o sobě) [C,C] monoidní strukturu vyvolanou operací skládání. Monoid v kategorii endofuktorů [C,C] je monáda v C .

Kategorie monoidů

Nechť a být dva monoidy v monoidní kategorii C , morfismus je monoidní morfismus , pokud $(M,\mu ,\eta )$ $(M',\mu ',\eta ')$ $f:M\to M'$

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

Kategorie monoidů v C s morfismy definovanými výše je zapsána jako . $\mathbf {Po} _{\mathbf {C} }$

Literatura

McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika - M.: Fizmatlit, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlín - ISBN 3-11-015248-7