Monoidní kategorie

Monoidální kategorie (nebo tensor kategorie ) je kategorie C vybavená bifunktorem

⊗ : C × C → C ,

který je asociativní až do přirozeného izomorfismu , a také objekt I , který je identitou pro ⊗ také až do přirozeného izomorfismu. Některé další podmínky jsou také kladeny na přirozené izomorfismy. V monoidální kategorii lze uvést definici monoidu , která zobecňuje vlastnosti monoidu z obecné algebry. Ve skutečnosti jsou obyčejné monoidy monoidy v kategorii množin s přímým součinem jako monoidním součinem.

Obvyklý tenzorový součin dělá vektorové prostory , abelovské grupy a moduly monoidními kategoriemi, libovolné monoidní kategorie lze považovat za zobecnění těchto příkladů.

Definice

Formálně je monoidní kategorie kategorie vybavená: $\mathbf {C}$

bifunktor , označovaný jako tenzorový součin nebo monoidní součin , $\otimes \colon {\mathbf C}\times {\mathbf C}\to {\mathbf C}$
objekt nazývaný jednotka nebo identický objekt , $já$
tři přirozené izomorfismy vyjadřující skutečnost, že operace součinu tenzoru
- asociativní: existuje přirozený izomorfismus (tzv. asociátor ) , , $\alpha$ $\alpha _{{A,B,C}}\dvojtečka (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$
- $já$ je jednotka: existují dva přirozené izomorfismy a , a . $\lambda$ $\rho$ $\lambda _{A}\dvojtečka I\otimes A\to A$ $\rho _{A}\dvojtečka A\otimes I\to A$

Na tyto přirozené izomorfismy jsou kladeny další podmínky:

pro všechny , , , v následujícím pětiúhelníkovém diagramu je komutativní : $A$ $B$ $C$ $D$ $\mathbf {C}$

pro všechny a trojúhelníkový diagram je komutativní: $A$ $B$

Z těchto podmínek vyplývá, že jakýkoli diagram tohoto typu (to znamená diagram, jehož šipky jsou složeny z , , , jednoty a tenzorového součinu) je komutativní: toto je předmětem MacLaneovy věty o koherenci . Například několika aplikacemi asociátoru je snadné ukázat, že a jsou izomorfní. Asociátory mohou být aplikovány v různých pořadích (například diagram ukazuje dva způsoby pro N = 4), ale teorém o koherenci implikuje, že různé sekvence aplikací definují stejné zobrazení. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$ $(A_{N}\otimes A_{{N-1}})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})$ $(A_{N}\otimes (A_{{N-1}}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})$

Striktně monoidní kategorie je kategorie, pro kterou jsou přirozené izomorfismy α , λ , ρ shodné.

Příklady

Jakákoli kategorie s konečnými produkty je monoidní, s kategorickým součinem jako monoidním součinem a koncovým objektem jako jednotkou. Taková kategorie se někdy nazývá kartézská monoidální kategorie . Například:
- ${\mathbf {Sada}}$ — kategorie souborů s kartézským součinem a jednoprvkovým souborem jako jednotkou.
Jakákoli kategorie s konečnými koprodukty je také monoidní, s koproduktem a počátečním objektem jako jednotkou.
R -Mod , kategorie modulů nadkomutativním kruhem R , je monoidální s tenzorovým součinem⊗ R a kruhem R (chápán jako modul nad sebou samým) jako identita.
Kategorie endofuktorů (funktorů do sebe) v kategorii C je striktně monoidní kategorie s funkcí součinu jako součin.

Viz také

Poznámky

Kelly, G. Max (1964). "O MacLaneových podmínkách pro soudržnost přirozených asociativit, komutativit atd." —Journal of Algebra 1 , 397-402
Kelly, G. Max. Základní pojmy teorie obohacených kategorií . - Cambridge University Press , 1982. - (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
Mac Lane, Saunders (1963). „Přirozená asociativita a komutativnost“. — Studia univerzity Rice 49 , 28-46 .
McLane S. Kapitola 7. Monoidy // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .