Skupina více operátorů

Multioperátorová skupina je libovolná algebra vybavená skupinovou strukturou, zobecňující pojmy grupa , kruh , tělo , skupina operátorů (která zase zobecňuje moduly nad kruhy , zejména vektorové prostory ) .

Zaveden v roce 1956 anglickým matematikem Philipem Higginsem [1] [2] jako nejuniverzálnější struktura, ve které je každá kongruence reprezentována rozkladem na kossety v ideálech a pro kterou lze definovat pojem komutátor .

Další příklady skupin s více operátory jsou blízké a blízké pole . Studujeme také speciální univerzální třídy multioperátorových skupin — multioperátorové okruhy a multioperátorové algebry .

Definice

Víceoperátorová skupina nebo -skupina je algebra , která tvoří grupu , navíc pro libovolnou -ární operaci , , tedy tvoří subsystém v . Předpokládá se , že část podpisu neobsahuje nulové operace. Někdy je skupina více operátorů nazývána svým dalším podpisem - -group. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $\sigma(0, \tečky, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

Normální podskupina skupiny se nazývá ideál skupiny s více operátory, pokud pro jakoukoli operaci -ary , arbitrary ( ) a všechny prvky formuláře: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $g_i \in G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $a \in N$

-\sigma(g_1, \tečky, g_n) + \sigma(g_1, \tečky, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \tečky, g_n)

znovu vlastněný . Zápis lze použít analogicky se zápisem normální podskupiny a ideálu kruhu. Skupina s více operátory se nazývá jednoduchá , pokud má pouze dva ideály – skupinu samotnou a nulovou podskupinu. $N$ $N \triangleleft \mathfrak G$

Komutátor prvků skupiny s více operátory je definován jako prvek , označený . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

Komutátor multioperátorové skupiny je ideálem generovaným všemi komutátory a prvky formuláře: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\tečky ,g_{n})-\sigma (h_{1},\tečky ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\tečky ,g_{n}+h_{n})

pro jakoukoli operaci z dodatečného podpisu skupiny více operátorů. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Vlastnosti ideálu

Pro skupiny se ideál multioperátorové skupiny shoduje s konceptem normální podskupiny a pro kruhy a struktury na nich založené s konceptem oboustranného ideálu .

Každý ideál skupiny více operátorů je jejím subsystémem . Průnik libovolného systému ideálů skupiny multioperátorů je opět jejím ideálem, navíc se tento ideál shoduje s podskupinou skupiny generovanou těmito ideály. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Hlavní vlastností ideálu je, že jakákoliv kongruence na multioperátorové skupině je popsána expanzemi do koset vzhledem k nějakému ideálu, jinými slovy lze hovořit o kvocientovém systému multioperátorové skupiny (multioperátorové kvocientové skupině) jako o konstrukci generující nová skupina multioperátorů od svého ideálu.

Speciální třídy skupin s více operátory

Kruh s více operátory je skupina více operátorů, jejíž aditivní skupina je abelovská a každá operace je distributivní s ohledem na sčítání skupiny: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$

\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \tečky, g_i, \tečky, g_n) + \sigma(g_1, \tečky, h_i, \tečky, g_n)

pro jakýkoli . $g_i, h_i \v G$

Multioperátorová algebra je multioperátorový kruh, všechny unární operace, jejichž další signatura tvoří pole , navíc struktura je vektorovým prostorem nad tímto polem, a pro všechny všechny operace arity větší než jedna a libovolné prvky máme : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \in \Sigma_1$ $n$ $\sigma \in \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \in G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \tečky, g_n) = \sigma(g_1, \tečky, \lambda g_i, \tečky , g_n) = \sigma(g_1, \tečky, g_i, \tečky, \lambda g_n

Stejně jako ostatní struktury s více operátory je v textu často identifikován dodatečným podpisem: multioperator -algebra $\Sigma$ (v tomto případě a aby se předešlo nejednoznačnosti mezi algebrou nad kruhem , jejíž je speciálním zobecněním, a algebrou v univerzálním smyslu ).

Ideály multioperátorových okruhů a algeber jsou podskupiny , ve kterých přítomnost prvku znamená obsah všech prvků formy [3] . $N \trojuhelník vlevo G$ $g_i \in N$ $\sigma(g_1, \tečky, g_i, \tečky, g_n) \in N$

Poznámky

↑ PJ Higgins. Skupiny s více operátory // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Sv. 6 , č. 3 . - str. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , str. 114.
↑ Obecná algebra, 1991 , str. 357.

Literatura

A. G. Kurosh . Skupiny s multioperátory // Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M .: Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30 000 výtisků.
Artamonov V.A. Kapitola VI. Univerzální algebry // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referenční matematická knihovna). — 25 000 výtisků. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Skupina s více operátory // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)