V teorii pravděpodobnosti se dvě náhodné události nazývají nezávislé , pokud výskyt jedné z nich nemění pravděpodobnost výskytu druhé. Podobně dvě náhodné proměnné se nazývají nezávislé , pokud známá hodnota jedné z nich nedává informaci o druhé.
Budeme předpokládat, že je nám dán pevný pravděpodobnostní prostor .
Definice 1. Dvě události jsou nezávislé, jestliže
výskyt události nemění pravděpodobnost výskytu události .Poznámka 1. V případě, že pravděpodobnost jedné události, řekněme , je nenulová, tj. , je definice nezávislosti ekvivalentní:
to znamená, že podmíněná pravděpodobnost události za podmínky se rovná nepodmíněné pravděpodobnosti události .
Definice 2. Nechť existuje rodina (konečná nebo nekonečná) náhodných událostí , kde je libovolná množina indexů . Pak jsou tyto události párově nezávislé , pokud jsou jakékoli dvě události z této rodiny nezávislé, tzn
Definice 3. Nechť existuje rodina (konečná nebo nekonečná) náhodných událostí . Pak jsou tyto události společně nezávislé , pokud pro jakoukoli konečnou množinu těchto událostí platí následující:
Poznámka 2. Společná nezávislost samozřejmě znamená nezávislost párů. Opak obecně neplatí.
Příklad 1. Nechte hodit tři vyrovnané mince. Definujme události takto:
Je snadné zkontrolovat, zda jsou libovolné dvě události z této sady nezávislé. Přesto jsou ti tři kolektivně závislí, protože například víme, že se události staly , víme přesně, co se také stalo. Formálněji: . Na druhou stranu, .
Definice 4. Nechť dvě sigma-algebry na stejném pravděpodobnostním prostoru. Jsou nazýváni nezávislými , pokud je některý z jejich zástupců na sobě nezávislý, to znamená:
.Pokud místo dvou existuje celá rodina (možná nekonečná) sigma-algeber, pak je pro ni zřejmým způsobem definována párová a společná nezávislost.
Definice 5. Nechť je dána rodina náhodných proměnných , takže . Pak jsou tyto náhodné proměnné párově nezávislé , pokud jimi generované sigma-algebry jsou párově nezávislé . Náhodné proměnné jsou vzájemně nezávislé , pokud jsou jimi generované sigma-algebry.
Je třeba poznamenat, že v praxi, pokud to není odvozeno z kontextu, nezávislost znamená nezávislost v souhrnu .
Výše uvedená definice je ekvivalentní jakékoli jiné z následujících. Dvě náhodné proměnné jsou nezávislé právě tehdy, když :
kde označuje (přímý) součin opatření .
kde jsou hustoty náhodných veličin a, resp.
Obecně platí, že pro kohokoli lze mluvit o nezávislosti. Myšlenka je podobná: rodina náhodných proměnných je -arno nezávislá, pokud je jakákoli podmnožina její mohutnosti kolektivně nezávislá. -ární nezávislost byla použita v teoretické informatice k prokázání teorému problému MAXEkSAT .
Slovníky a encyklopedie |
---|