Brunn-Minkowski nerovnost

Brunn-Minkowski teorém je klasický teorém konvexní geometrie:

Formulace

Nechť a být kompaktní konvexní tělesa v n - rozměrném euklidovském prostoru . Uvažujme Minkowského součet , , tedy množinu bodů rozdělujících segmenty s konci v libovolných bodech množin a vzhledem k . Pak funkce $K_{0}$ $K_1$ $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}$ $\lambda \in[0,1]$ $K_{0}$ $K_1$ $\lambda$ $(1-\lambda )$

f(\lambda )={\sqrt[ {n}]({\mathop {{\rm {vol))))K_{\lambda }}}

je konkávní funkcí . $\lambda$

Navíc, funkce je lineární tehdy a jen tehdy a jsou homotetické. $f(\lambda)$ $K_{0}$ $K_1$

Poznámky

Nerovnost lze snadno odvodit z jejího speciálního případu ${\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)) (A+B)))\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol)) A} }+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}$

pro jakákoli kompaktní konvexní tělesa a v n - rozměrném prostoru.

A

B

Důsledky

Izodiometrická nerovnost : V euklidovském prostoru, mezi všemi tělesy daného průměru , má koule největší objem . K prokázání věty stačí aplikovat Brunn-Minkowskiho nerovnost na dané tělesoa jeho středově symetrickou kopii. $W$ $W'$
Lindelöfova věta o mnohostěnu : Mezi všemi konvexními mnohostěny trojrozměrného euklidovského prostoru s danými směry tváře a daným objemem má mnohostěn popsaný kolem koule nejmenší povrch.

Historie

Větu zavedl Brunn v roce 1887, upřesnil a doplnil Minkowski [1] , zobecnil na případ libovolných kompaktních těles Lyusternik [2] .

Poměrně jednoduchý důkaz, který dal Blaschke, používá Steinerovu symetrizaci . Další krátký a jednoduchý důkaz našli G. Hadwiger a D. Oman. [3] V něm se nerovnost dokazuje nejprve pro dvojice rovnoběžnostěnů s rovnoběžnými plochami - tato část je ekvivalentní nerovnosti mezi geometrickým průměrem a aritmetickým průměrem . Dále se pomocí indukce dokazuje pro konečná sjednocení takových rovnoběžnostěnů. Nerovnost následuje proto, že takové spojení lze aproximovat libovolné těleso.

Variace a zobecnění

Aleksandrov-Fenchelova nerovnost je nerovnost pro smíšený objem , což implikuje Brunn-Minkowski nerovnost.

Literatura

↑ Minkowski, Hermann . Geometrie der Zahlen (neopr.) . — Lipsko: Teubner, 1896.
↑ Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (německy) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : časopis. - 1935. - Bd. III . - S. 55-58 .
↑ H. Hadwiger a D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8

V. Blaschke , Kruh a míč. M .: Nauka, 1967.
Burago Yu.D. , Zalgaller V.A. Geometrické nerovnosti. - Věda, 1980.
Federer G. Teorie geometrické míry. - 1987. - 760 s.