Čebyševova nerovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. února 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Čebyševova nerovnost (nebo Bieneme-Čebyševova nerovnost ) je nerovnost v teorii míry a teorii pravděpodobnosti . Poprvé jej získal Bieneme v roce 1853 a později také Čebyšev (v článku „O průměrných hodnotách“ z roku 1867).

Nerovnice používaná v teorii míry je obecnější, v teorii pravděpodobnosti se používá její důsledek.

Čebyševova nerovnost v teorii míry

Čebyševova nerovnost v teorii míry popisuje vztah mezi Lebesgueovým integrálem a mírou . Analogií této nerovnosti v teorii pravděpodobnosti je Markovova nerovnost . Čebyševova nerovnost se také používá k prokázání vložení prostoru $L_{p}$ do slabého prostoru .

Formulace

Nechť je prostor s mírou . Nechte také $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$
- $A\in {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ je součet na funkci $A$
- $c>0$ .

Pak je nerovnost pravdivá:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\phi (x)\mu (dx)

Obecněji:

Jestliže je nezáporná reálná měřitelná funkce , která je neklesající na definičním oboru , pak

G

\phi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{ A}g\circ \phi \,\mu (dx).

Z hlediska prostoru : $L_{p}$

Nechte _ Pak

\phi (x)\in L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

Čebyševovu nerovnost lze získat jako důsledek Markovovy nerovnosti.

Čebyševova nerovnost v teorii pravděpodobnosti

Čebyševova nerovnost v teorii pravděpodobnosti říká, že náhodná proměnná obecně nabývá hodnot blízkých jejímu průměru . Přesněji, dává odhad pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabude hodnoty, která je daleko od jejího průměru.

Čebyševova nerovnost je důsledkem Markovovy nerovnosti .

Formulace

Nechť je náhodná proměnná definována na pravděpodobnostním prostoru a její matematické očekávání a rozptyl jsou konečné. Pak $X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

kde . $a>0$

Jestliže , kde je směrodatná odchylka a , pak dostaneme $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

Zejména náhodná proměnná s konečným rozptylem se odchyluje od průměru o více než standardní odchylky, s pravděpodobností menší než . Odchyluje se od průměru o standardní odchylky s pravděpodobností menší než . Jinými slovy, náhodná veličina zapadá do standardních odchylek s pravděpodobností a směrodatných odchylek s pravděpodobností $2$ $25\%$ $3$ $11.12\%$ $2$ $75\%$ $3$ $88,88\%$

Pro nejdůležitější případ unimodálních rozdělení Vysočanského-Petuninova nerovnost výrazně posiluje Čebyševovu nerovnost, včetně zlomku 4/9. Vazba ve směrodatných odchylkách tedy zahrnuje hodnoty náhodné veličiny. Na rozdíl od normálního rozdělení , kde směrodatné odchylky zahrnují hodnoty náhodné veličiny. $3$ $95,06\%$ $3$ $99,73\%$

Viz také

Literatura

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. - M. : Nauka, 1976. - 544 s.

skupina autorů. Moskva matematická sbírka. - M. , 1867. - T. 2.

Čebyševova nerovnost

Čebyševova nerovnost v teorii míry

Formulace

Čebyševova nerovnost v teorii pravděpodobnosti

Formulace

Viz také

Literatura

Odkazy