Maticová norma

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Maticová norma je norma v lineárním prostoru matic, obvykle nějakým způsobem související s odpovídající vektorovou normou (konzistentní nebo podřízená ).

Definice

Nechť K je základní pole (obvykle K = R nebo K = C ) a je lineární prostor všech matic s m řádky a n sloupci sestávajícími z prvků K . Norma je dána prostoru matic, pokud je každá matice spojena s nezáporným reálným číslem , nazývaným jeho norma, takže $K^{{m\times n}}$ $A\in K^{m\times n}$ $\|A\|$

$\|A\|>0$ , pokud , a , pokud . $A\neq 0$ $\|A\|=0$ $A=0$
${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n))$ .
${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n))$ [1] .

V případě čtvercových matic (tj. m = n ) lze matice násobit bez opuštění prostoru, a proto normy v těchto prostorech obvykle splňují také submultiplikativní vlastnost :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ pro všechny matice A a B v . $K^{{n\times n}}$

Submultiplikativitu lze také provádět pro normy nečtvercových matic, ale definovaných pro několik požadovaných velikostí najednou. Konkrétně, jestliže A je matice ℓ × m a B je matice m × n , pak A B je matice ℓ × n .

Provozovatelské normy

Důležitou třídou maticových norem jsou operátorové normy , nazývané také podřízené nebo indukované normy . Operátorová norma je jednoznačně konstruována ze dvou norem definovaných v a na základě skutečnosti, že jakákoli matice m × n je reprezentována lineárním operátorem od do . konkrétně $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

[2]

Za podmínky důsledné specifikace norem na prostorech vektorů je taková norma submultiplikativní (viz výše ).

Příklady norem pro operátory

Maticová norma podřízená vektorové normě . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$
Maticová norma podřízená vektorové normě . $\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
Spektrální norma podléhající vektorové normě . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Axe\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

Vlastnosti spektrální normy:

Spektrální norma operátoru je rovna maximální singulární hodnotě tohoto operátoru.
Spektrální norma normálního operátoru je rovna absolutní hodnotě maximálního vlastního čísla modulo tohoto operátoru.
Spektrální norma se nemění, když je matice vynásobena ortogonální ( jednotkovou ) maticí.

Normy neoperátorové matice

Existují maticové normy, které nejsou normami operátorů. Koncept neoperátorových norem matic zavedl Yu. I. Lyubich [3] a studoval G. R. Belitsky .

Příklad neoperátorské normy

Zvažte například dvě různé normy operátorů a například normy řádků a sloupců. Vytvořme novou normu . Nová norma má vlastnost ring , zachovává identitu a není operátorem [4] . $\|A\|_{1}$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ $\|I\|=1$

Příklady norem

Norma L p,q

Nechť je vektor sloupců matice. Podle definice je norma rovna součtu euklidovských norem sloupců matice: $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $A.$ $L_{2,1}$

\Vert A\Vert _{2,1}=\součet _{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert _{2}=\součet _{j=1}^{ n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

Normu lze zobecnit na normu $L_{2,1}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\right)^{q/p}\right)^{1/q}

Vektor -norma

p

Matici si můžete představit jako vektor velikosti a použít standardní vektorové normy. Například vektor p -norma se získá z normy v : $m\krát n$ $mn$ ${\displaystyle L_{p,q))$ $p=q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\součet _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

Tato norma se liší od indukované p - normy a od Schattenovy p - normy (viz níže), i když se používá stejný zápis. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

Frobeniova norma nebo euklidovská norma (pro euklidovský prostor ) je speciálním případem p - normy pro p = 2 :. $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

Frobeniova norma se snadno počítá (ve srovnání např. se spektrální normou). Má následující vlastnosti:

Konzistence : , protože kvůli Cauchy-Bunyakovského nerovnosti ${\displaystyle \|Axe\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2))$

\|Ax\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Submultiplikativita : , protože . ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F))$ $\|AB\|_{F}^{2}=\součet _{i,j}\left|\součet _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\sum _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)) A^{*}A=\mathop {\rm {tr)) AA^{*}$ , kde je stopa matice , je hermitovská konjugovaná matice . $\mathop {\rm {tr)) A$ $A$ $A^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\tečky +\rho _{n}^{ 2}$ , kde jsou singulární hodnoty matice . ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\tečky ,\rho _{n))$ $A$
${\displaystyle \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2))$ , kde je spektrální norma. ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
${\displaystyle \|A\|_{F))$ se nemění, když je matice násobena zleva nebo zprava ortogonálními ( jednotkovými ) maticemi [5] . $A$

Maximální modul

Norma maximálního modulu je dalším speciálním případem p -normy pro p = ∞ .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norm Shatten

Schattenovy normy vznikají, když je -norma aplikována na vektor singulárních hodnot matice. Označíme-li -tou singulární hodnotou matice velikosti , pak je Schattenova -norma definována jako $p$ $\sigma _{i}(A)$ $i$ $A$ $m\krát n$ $p$

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ vpravo)^{1/p}.

Schattenovy normy se označují stejným způsobem jako indukované a vektorové normy, ale neshodují se s nimi. $p$

Pro any , Schattenova norma je submultiplikativní a unitárně invariantní, to znamená pro jakékoli matice a a jakékoli unitární matice a . $p$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p))$ ${\displaystyle \|A\|_{p}=\|UAV\|_{p))$ $A$ $B$ $U$ $PROTI$

V , Schattenova norma se shoduje s Frobeniovou normou, v , se spektrální normou a v , s nukleární normou (také známou jako stopová norma a Ki Fan - norma ), která je definována jako $p=2$ $p=\infty$ $p=1$

\|A\|_{1}=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)) \left({\sqrt {A^{*}A}}\right).

Norma jádra je konvexní obal hodnostní funkce na množině matic s jednotkovou spektrální normou, takže se často používá v optimalizačních problémech k nalezení matic s nízkou hodností [6] .

Konzistence mezi maticovými a vektorovými normami

Maticová norma on se nazývá konzistentní s normami on a on , pokud: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\times n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Axe\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

pro jakýkoli . Konstrukčně je norma operátora v souladu s původní vektorovou normou. $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Příklady konzistentních, ale ne podřízených maticových norem:

Euklidovská norma je v souladu s vektorovou normou [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)) }$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2))))$
Norma je v souladu s vektorovou normou [7] . $\|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Ekvivalence norem

Všechny normy v prostoru jsou ekvivalentní, to znamená, že pro jakékoli dvě normy a pro jakoukoli matici platí dvojitá nerovnost: $K^{{m\times n}}$ $\|.\|_{\alpha }$ ${\displaystyle \|.\|_{\beta ))$ $A\in K^{m\times n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

kde konstanty a nezávisí na matici . $C_{1}$ $C_{2}$ $A$

Pro následující nerovnosti platí: $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2))$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

kde , a jsou normy operátora [8] . $\|A\|_{1}$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Aplikace

Maticové normy se často používají při analýze výpočetních metod lineární algebry . Například program pro řešení systémů lineárních algebraických rovnic může poskytnout nepřesný výsledek, pokud je matice koeficientů špatně podmíněná („téměř degenerovaná “). Abychom kvantitativně charakterizovali blízkost k degeneraci, musíme být schopni změřit vzdálenost v prostoru matic. Tuto možnost poskytují maticové normy [9] .

Viz také

Poznámky

↑ Gantmakher, 1988 , str. 410.
↑ Prasolov, 1996 , s. 210.
↑ Lyubich Yu. I. O operátorových normách matic // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. Vydání. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , s. 99.
↑ 1 2 Ilyin, Kim, 1998 , str. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. Heuristika minimalizace hodnosti s aplikací na aproximaci systému minimálního řádu // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Sv. 6 . - str. 4734-4739 . - doi : 10.1109/ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , str. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , str. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , str. 61.

Literatura

Ilyin V. A. , Kim G. D. Lineární algebra a analytická geometrie. - M. : Moskevské nakladatelství. un-ta, 1998. - 320 s. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. teorie matice. — M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Úvod do teorie matic. - M .: Nauka, 1969.
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Maticové výpočty: Per. z angličtiny. - M. : Mir, 1999. - 548 s. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Maticové normy a jejich aplikace. - Kyjev: Naukova Dumka, 1984. - 160 s.

Odkazy

exponenta.ru. Vzdělávací matematický portál . Datum přístupu: 15. listopadu 2016. (neurčitý)
Svět matematiky. Matrixová norma . Staženo: 3. prosince 2016. (neurčitý)