Okroshka od kočky

Okroshka from a cat [1] ( fr. chat d'Arnold ) je pozoruhodným mapováním z dvourozměrného torusu do sebe.

Představte si torus jako jednotkový čtverec s protilehlými stranami slepenými k sobě. Potom je zobrazení okroshky z kočky uvedeno jako , kde složené závorky označují zlomkovou část. Toto mapování je reverzibilní a zachovává plochu obrazců, ale ne délky segmentů. $\Gamma \colon (x,y)\mapsto \left(\{x+y\},\{x+2y\}\right)$

Název „okroshka z kočky“ je spojen s jeho mísícími vlastnostmi: bez ohledu na to, jakou měřitelnou sadu na torus („kočka“) zvolíme, působením dalších a dalších iterací tohoto automorfismu bude jednotně „rozmazaný“ . Formálně řečeno, pro jakoukoli měřitelnou podmnožinu Lebesgueovy míry (za předpokladu, že mírou celého torusu je jednotka) a pro jakoukoli otevřenou podmnožinu bude míra průniku inklinovat k (kde je Lebesgueova míra ), jak se blíží k nekonečnu. V monografii Problèmes ergodiques de la mécanique classique od V. I. Arnolda a A. Avea byla pro ilustraci tohoto zobrazení použita silueta kočičí hlavy [2] , i když ve francouzštině se hra se slovy ztrácí. Z tohoto důvodu je toto mapování v jiných jazycích známé jako „Arnold's cat mapping“ ( francouzsky chat d'Arnold , anglicky Arnold's cat map ), což sám V. I. Arnold považoval za určitou kuriozitu. [3] Obrázek v původní knize je doplněn ironickou poznámkou pod čarou, která zní: $m$ $U$ $\Gamma ^{k}($ $)\cap U$ $m\mu (U)$ $\mu (U)$ $U$ $k$

Společnost pro ochranu zvířat udělila povolení k reprodukci tohoto obrázku, stejně jako dalších.

Původní text (fr.)[ zobrazitskrýt] La SPA a donné son autorisation pour la reprodukce de cette figure, comme bien d'autres.

Místo automorfismu torusu lze stejně dobře mluvit o automorfismu jeho univerzálního pokrytí (tedy euklidovské roviny) s vlastností, že pro libovolný bod a celé číslo a . Odpovídající rovinná transformace pro kočku okroshku je lineární transformace daná maticí (nebo jinou podobnou, v závislosti na volbě souřadnic). Determinant této matice je 1, takže transformace, kterou definuje, je vratná a zachovává oblast. Navíc je tato matice symetrická, takže transformace, kterou definuje, je diagonalizovatelná s vlastními čísly a . Protože determinant této matice je 1, její dráhy jsou hyperboly , kde jsou souřadnice na bázi vlastních vektorů. Každá z těchto hyperbol (stejně jako jejich asymptoty) se při projekci na torus stává hustými křivkami. $f(x+n,y+m)=f(x,y)+(n',m')$ $(x,y)$ $(n, m)$ $(n',m')$ ${\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ $uv=\mathrm {const}$ $u, v$

Vlastnosti okroshky z kočky

Mapování je ergodické , anosovské a strukturálně stabilní . $\Gamma$
Torus lze rozřezat na pět obdélníků se stranami rovnoběžnými s vlastními směry kočky okroshky. Zapíšeme -li pravděpodobnost, s jakou okroshka z kočky přesune bod z -tého obdélníku do -tého, dostaneme Markovův proces . To může být použito k prokázání směšovacích vlastností tohoto mapování. Obecně platí, že toto kódování zachovává všechny vlastnosti okroshky z kočky jako dynamického systému: například každý bod torusu odpovídá jeho osudu - nekonečná posloupnost čísel od 1 do 5 v obou směrech, což naznačuje, který obdélník body spadnout do . Upevnění několika hodnot budoucího bodu je stejné jako upevnění určitého vertikálního pásu, do kterého spadá; fixovat několik významů minulosti je jako fixovat horizontální pás. Zejména z toho je vidět, že pro okroshku z kočky budoucnost nezávisí na minulosti . [čtyři] $i$ $j$ $X$ $\dots ,\Gamma ^{-1}x,x,\Gamma x,\Gamma ^{2}x,\tečky$
Periodické body okroshky z kočky jsou husté : bod má periodickou oběžnou dráhu (možná s nějakou předperiodou), právě když jsou jeho souřadnice racionální. Bod se jmenovatelem, který dělí, nemůže mít tečku větší než . Jinak je závislost období na jmenovateli extrémně nepravidelná. Mapa kočičí okroshky na racionálních bodech, zejména s omezeným jmenovatelem, se často nazývá „diskrétní kočičí okroshka“. $N$ $3N$
Počet bodů s tečkou je přesně . 2 první čísla v této posloupnosti jsou následující: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680, 271441, 710645, 185504966, 2460796 184504961748079618480496171484815776 599476, 156125, 5994, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 5907, 4106118241, 10749957120, 28143753681, 7251, 7251,20 $n$ $\left|\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {3-{\sqrt {5} }}{2}}\right)^{n}-2\right|$

Použití pro kočku okroshka

V brožuře „Continued Fractions“ se V. I. Arnold pokusil podat geometrický důkaz Lagrangeovy věty, která říká, že reálné číslo má periodický rozvoj na spojitý zlomek (případně s nějakou předperiodou) právě tehdy, je-li toto číslo kvadratická iracionalita . . Jeho přístup používal okroshka z kočky. Aby mohl studovat „vyšší dimenzionální pokračující zlomky“, které zavedl, zvažoval podobná zobrazení tori vyšší dimenze, například automorfismus trojrozměrného torusu daný maticí . S jeho pomocí se jeho studentům Tsushiashi a Korkina podařilo najít analogii Lagrangeovy věty pro kubické iracionality. [3] Vztah mezi skutečnou multidimenzionální kočkou okroshkou a složitou geometrií povrchů Inue , rovněž spojený s kubickými iracionalitami, zůstává nejasný. ${\begin{pmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$
Mapování analogické s okroshkou od kočky může být také definováno pro komplexní tori . Z dvourozměrného komplexního torusu lze sestavit povrch Kummer K3 ; v tomto případě okroshka z kočky definuje mapování povrchu K3. Kantova a Dupontova věta říká, že jakýkoli povrch K3 s automorfismem, jehož maximální míra entropie je absolutně spojitá s ohledem na Lebesgueovu míru, je Kummerovým povrchem (tj. je získán z torusu; na tomto torusu bude automorfismus působit v podobný způsob jako okroshka od kočky). [6]

Poznámky

↑ Videotéka: N. Goncharuk, Yu. Kudrjašov, Okroshka z kočky. Přednáška 1 . Získáno 20. června 2020. Archivováno z originálu dne 22. června 2020. (neurčitý)
↑ VI Arnold, A. Avez. Problémy ergodiques de la mécanique classique: [ fr. ] . - Gauthier-Villars, 1967. - (Monographies internationales de mathématiques modernes).
↑ 1 2 V. I. Arnold. Řetězové střely. - Nakladatelství MTSNMO, 2009. - (Knihovna "Matematická výchova").
↑ Videotéka: N. Goncharuk, Yu. Kudrjašov, Okroshka z kočky. Přednáška 3 . Získáno 20. června 2020. Archivováno z originálu dne 21. června 2020. (neurčitý)
↑ A004146 - OEIS . Získáno 20. června 2020. Archivováno z originálu dne 6. července 2020. (neurčitý)
↑ V. Tosatti . Ricciho ploché metriky a dynamika na površích K3 Archivováno 22. června 2020 na Wayback Machine dne 23. března 2020