Podobnost

Podobnost je transformace euklidovského prostoru , ve kterém pro libovolné dva body a jejich obrazy existuje vztah , pro některé pevný , nazývaný koeficient podobnosti . $A$ $B$ $A'$ $B'$ $|A'B'|=k\cdot |AB|$ $k\neq 0$

Pojem podobnosti je definován podobným způsobem pro metrické prostory, pro Riemannovy prostory (viz část Zobecnění ).

Historie

Podobné postavy byly zvažovány ve starověkém Řecku v 5.-4. století před naším letopočtem; objevují se ve spisech Hippokrata z Chiu , Archytase z Tarenta , Eudoxa z Cnidu a v knize VI. Euklidových prvků .

Speciální případy

Homothety je podobnost, která má pevný bod a zachovává orientaci .
Pohyb je podobnostní transformace s koeficientem, tedy transformace roviny, která zachovává vzdálenosti. $k=1$

Související definice

Obrazec se nazývá podobný obrazci , pokud existuje podobnostní transformace, pro kterou . $F$ $F'$ $F\mapsto F'$
- Podobnost čísel je vztahem ekvivalence .
- K označení podobnosti se obvykle používá ikona - znamená, že postavy a jsou podobné. $\sim$ $F\sim F'$ $F$ $F'$

Metoda podobnosti

Podobnost obrázků se uplatňuje při řešení mnoha konstrukčních problémů .

Metoda podobnosti spočívá v tom, že pomocí některých dat problému nejprve postaví postavu podobnou požadovanému a poté přejdou k požadovanému. Tato metoda je zvláště vhodná, když pouze jedna daná veličina je délka a všechny ostatní veličiny jsou buď úhly nebo poměry čar.

Klasickým příkladem problému podobnosti je konstrukce kružnice tečné ke dvěma stranám daného úhlu a procházející daným bodem. [jeden]

Vlastnosti

Podobnost je mapování euklidovského prostoru jedna ku jedné na sebe.
Podobnost je afinní transformace roviny.
Podobnost zachovává pořadí bodů na přímce, to znamená, že pokud bod leží mezi body , a , , - jejich odpovídajícími obrázky s určitou podobností, pak také leží mezi body a . $B$ $A$ $C$ $B'$ $A'$ $C'$ $B'$ $A'$ $C'$
Body, které neleží na přímce, s jakoukoli podobností, jdou k bodům, které neleží na jedné přímce.
Podobnost převede úsečku na úsečku, úsečku na úsečku, paprsek na paprsek, úhel na úhel, kružnici na kružnici.
Podobnost zachovává úhly mezi křivkami.
Podobnost s koeficientem , která transformuje každou přímku na přímku s ní rovnoběžnou, je stejnost s koeficientem nebo . $k\ne=1$ $k$ $-k$
- Každou podobnost lze považovat za kompozici pohybu a nějakou homotetiku s kladným koeficientem. $D$ $\Gamma$
- Podobnost se nazývá vlastní ( nevlastní ), pokud je pohyb vlastní (nevlastní). Správná podobnost zachovává orientaci obrazců, zatímco nesprávná podobnost orientaci obrací. $D$
Dva trojúhelníky v euklidovské geometrii jsou podobné, jestliže
- jejich příslušné úhly jsou stejné, popř
- strany jsou proporcionální. Viz také Známky podobnosti trojúhelníků .
Plochy podobných obrazců jsou úměrné čtvercům jejich podobných čar (např. stran). Plochy kružnic jsou tedy úměrné poměru čtverců jejich poloměrů.

Zobecnění

Podobnost je definována podobně (při zachování výše uvedených vlastností) v 3-rozměrném euklidovském prostoru, stejně jako v n-rozměrném euklidovském a pseudoeuklidovském prostoru .

V metrických prostorech , stejně jako v - rozměrném Riemannian , pseudo-Riemannian a Finsler prostory, podobnost je definována jako transformace, která vezme metriku prostoru do sebe nahoru k konstantnímu faktoru. $n$

Množina všech podobností n-rozměrného euklidovského, pseudoeuklidovského, riemannovského, pseudoriemannovského nebo Finslerova prostoru tvoří -člennou skupinu Lieových transformací , nazývanou skupina podobných (homotetických) transformací odpovídajícího prostoru. V každém z prostorů těchto typů obsahuje -termická skupina podobných Lieových transformací -termickou normální podgrupu pohybů. $r$ $r$ $(r-1)$

Viz také

Poznámky

↑ A. P. Kiselev . Elementární geometrie / editoval N. A. Glagolev . — 1938.

Odkazy

Rovnost a podobnost geometrických obrazců .
Hrob D. A. Homotetické postavy // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Podobnost // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1984. - T. 4: Dobře - Slo. - S. 373. - 1216 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Brockhaus a Efron Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph317228