Bodová konvergence

V matematice je bodová konvergence posloupnosti funkcí na množině typem konvergence , ve které je každý bod dané množiny spojen s limitem posloupnosti hodnot prvků posloupnosti ve stejném bodě.

Takto definovaná funkce se nazývá limitní funkce dané posloupnosti nebo její bodová limita a říká se, že daná posloupnost bodově konverguje k limitní funkci.

Silnější formou konvergence je stejnoměrná konvergence : jestliže funkční posloupnost konverguje rovnoměrně , pak tato posloupnost také konverguje bodově , ale ne naopak. Aby byla bodová limita posloupnosti funkcí jednotná, musí být splněno Cauchyho kritérium .

Pojem bodové konvergence se přirozeně přenáší na funkční rodiny a funkční řady .

Definice

Nechť je posloupnost funkcí tvaru ( ) kde je definiční obor společný pro všechny funkce rodiny. $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $f_{n}\dvojtečka X\to {\mathbb {R}}$ $n=1,2,\tečky$ $X$

Opravte bod a zvažte číselnou sekvenci formuláře . $x\in X$ $\{f_{{n}}(x)\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Pokud má tato posloupnost (konečnou) limitu, pak bod může být spojen s limitou této posloupnosti a označovat jej : $X$ $f(x)$

f(x):=\lim _{{n\to \infty }}f_{n}(x)

Pokud vezmeme v úvahu všechny body množiny, ve kterých zadaná limita existuje, pak můžeme definovat funkci . $E\podmnožina X$ $f\colon E\to {\mathbb {R}}$

Takto definovaná funkce se nazývá bodová limita posloupnosti funkcí rodiny na množině : $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $E$

f_{n}\to f\quad \{E\}\Leftrightarrow \left(\forall x\in E\quad f_{n}(x)\to f(x)\quad n\to \infty \right)

zatímco rodina samotná se říká , že bodově konverguje k funkci na množině . $\{f_{{n}}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $F$ $E$

Vlastnosti

Koncept bodové konvergence v některých ohledech kontrastuje s pojmem jednotné konvergence . konkrétně

\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=f

rovnoměrně

se rovná

\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in D\}=0.

Toto tvrzení je silnější než tvrzení bodové konvergence: každá jednotně konvergentní funkční posloupnost bodově konverguje ke stejné limitní funkci, ale obráceně to obecně neplatí. Například,

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x^{n}=0

bodově na intervalu [0,1), ale ne rovnoměrně na intervalu [0,1).

Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitou funkcí, ale pouze v případě, že konvergence není zároveň rovnoměrná. Například funkce

f(x)=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\cos(\pi x)^{{2n}}

má hodnotu 1, pokud x je celé číslo, a 0, pokud x není celé číslo, a proto není spojité pro celá čísla.

Hodnoty funkce f n nemusí být reálné, ale mohou patřit do libovolného topologického prostoru , takže koncept bodové konvergence dává smysl. Na druhou stranu jednotná konvergence nedává smysl obecně pro funkce nabývající hodnot v topologických prostorech, ale smysl má v konkrétním případě, kdy je topologický prostor vybaven metrikou .

Topologie

Bodová konvergence je stejná jako konvergence v topologii součinu na prostoru Y X . Je-li Y kompaktní , pak podle Tichonovovy věty je prostor Y X také kompaktní.

V teorii míry

V teorii míry se téměř všude zavádí pojem konvergence posloupnosti měřitelných funkcí definovaných na měřitelném prostoru , což znamená konvergenci téměř všude . Egorovova věta říká, že bodová konvergence téměř všude na množině konečné míry implikuje rovnoměrnou konvergenci na množině jen o něco menší.

Bodová konvergence

Definice

Vlastnosti

Topologie

V teorii míry

Viz také