Egorovova věta

Egorovova věta říká, že posloupnost měřitelných funkcí , která konverguje téměř všude na určité množině, konverguje rovnoměrně na její dostatečně velké podmnožině.

Formulace

Nechť je dán prostor s konečnou mírou taková, že , a na něm definovaná posloupnost měřitelných funkcí , která konverguje téměř všude k . Pak pro any existuje množina taková, že , a posloupnost rovnoměrně konverguje k on . $(X,\mathcal{F},\mu)$ $\mu (X)<\infty$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $F$ $\varepsilon >0$ $X_{\varepsilon }\subset X$ $\mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon$ $\{f_{n}\}$ $F$ ${\displaystyle X_{\varepsilon ))$

Poznámky

Konvergence odvozená teorémem je často označována jako téměř rovnoměrná konvergence .
Podstatná je konečnost . Nechť například , kde je Borelova σ-algebra na , a je Lebesgueova míra . Všimněte si toho . Nechť , kde označuje indikátorovou funkci množiny . Potom konverguje k nule bodově , ale nekonverguje rovnoměrně na žádném doplňku k množině konečné míry. $\mu (X)$ $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$ $m(\mathbb {R} )=\infty$ $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $\{f_{n}\}$

Variace a zobecnění

Egorovova věta přirozeně zobecňuje na případ funkcí s hodnotami v Banachově prostoru . [jeden]

Luzinova věta

Poznámky

↑ Heinonen, Juha a kol. Sobolevovy prostory na metrických prostorech. sv. 27. Cambridge University Press, 2015.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976. — 544 s.
Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 s.

Dmitri Egoroff , Sur les suites des fonctions measurables. ČR akad. sci. Paříž, (1911) 152:135–157.
Bogachev V.I. , K historii objevu teorémů Egorova a Luzina, Historický a matematický výzkum , sv. 48 (13), 2009.