Prvotní

Primorial , primorial ( ang. Primorial ) - v teorii čísel funkce nad řadou přirozených čísel , podobná funkci faktoriální , s tím rozdílem, že primorial je sekvenční součin prvočísel menších nebo rovných danému, přičemž faktoriál je sekvenční součin všech přirozených čísel menších nebo rovných danému číslu.

Termín „prvotní“ zavedl do vědeckého oběhu americký inženýr a matematik Harvey Dubner [1] .

Definice pro prvočísla

Pro n-té prvočíslo p n je prvotní p n # definováno jako součin prvních n prvočísel [2] [3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

kde p k je k -té prvočíslo.

Například p 5 # označuje součin prvních 5 prvočísel:

p_{5}\#=2\krát 3\krát 5\krát 7\krát 11=2310.

Takže prvních šest primorialů je:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (sekvence OEIS A002110 také zahrnuje p 0 # = 1 jako prázdný produkt ).

Asymptoticky rostou primoria p n # podle

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

kde je zápis "o" malý [3] . $o(\cdot )$

Definice pro přirozená čísla

Obecně platí, že pro kladné celé číslo n lze prvotní n # definovat jako součin prvočísel menších nebo rovných n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

kde je distribuční funkce prvočísel (sekvence A000720 v OEIS ) udávající počet prvočísel ≤ n , což je ekvivalentní $\kolík)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{když }}n>1.\end{cases}}

Například 12# je součin prvočísel, z nichž každé je ≤ 12:

12\#=2\krát 3\krát 5\krát 7\krát 11=2310.

Takže to lze vypočítat jako $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Zvažte prvních 12 primorial:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vidíme, že u složených čísel každý člen této posloupnosti jednoduše duplikuje předchozí. Ve výše uvedeném příkladu platí, že 12# = p 5 # = 11#, protože 12 je složené číslo.

Přirozený logaritmus n # je první Čebyševova funkce zapsaná jako nebo , která se blíží lineárnímu n pro velké hodnoty n [5] . $\Opalování)$ $\vartheta (n)$

Primorial n # rostou podle

\ln(n\#)\sim n.

Funkce a aplikace

Prvočísla hrají důležitou roli při hledání prvočísel v aritmetických postupech prvočísel . Například sečtením čísel 2236133941 + 23# vznikne prvočíslo, které začíná posloupnost třinácti prvočísel, které lze získat přidáním 23# za sebou, a končí číslem 5136341251. 23# je také běžný rozdíl v aritmetice posloupnosti patnácti a šestnácti prvočísel .

Každé vícedílné číslo může být reprezentováno jako součin primorial (například 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Všechny primorial jsou squarefree a každý má prvočíslo libovolné číslo menší než primorial. Pro každé prvotní n je poměr menší než pro jakékoli celé číslo, kde je Eulerova funkce . $\phi (n)/n$ $\phi$

Každé prvotní číslo je slabě totientní číslo [7] .

Aproximace

Riemannovu zeta funkci pro kladná čísla větší než jedna lze vyjádřit [8] pomocí primorial a Jordanovy funkce : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\tečky

Tabulka hodnot

n	n #	p n	p n #
0	jeden	neexistuje	neexistuje
jeden	jeden	2	2
2	2	3	6
3	6	5	třicet
čtyři	6	7	210
5	třicet	jedenáct	2310
6	třicet	13	30030
7	210	17	510510
osm	210	19	9699690
9	210	23	223092870
deset	210	29	6469693230
jedenáct	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
čtrnáct	30030	43	13082761331670030
patnáct	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
osmnáct	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
dvacet	9699690	71	557940830126698960967415390

Skladatel

Skladatel čísla n, na rozdíl od prvotního, je součinem složených čísel menších než n. Kompozit se rovná poměru faktoriálu a primoriálu čísla: . Prvních patnáct složek (s výjimkou opakujících se hodnot) jsou 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12588880000, 115888800, 1158888000772000 [9] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [10] [ 10] $n!/n\#$

Viz také

Poznámky

↑ Dubner, 1987 , pp. 197–203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 sekvence A002110 v OEIS .
↑ OEIS sekvence A034386 . _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions na webu Wolfram MathWorld .
↑ A002182 - OEIS . Datum přístupu: 5. ledna 2016. Archivováno z originálu 24. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Na řídce totientních číslech . Datum přístupu: 5. ledna 2016. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý)
↑ István Mező. Prvotní a Riemannova zeta funkce: [ eng. ] // The American Mathematical Monthly. - 2013. - Sv. 120. - S. 321.
↑ kompozice . _ www.numbersaplenty.com. Staženo 1. 2. 2018. Archivováno z originálu 24. 1. 2018.
↑ OEIS sekvence A036691 _
↑ Compositorial – OeisWiki . oeis.org. Staženo 1. února 2018. Archivováno z originálu 2. února 2018.

Literatura

Harvey Dubner. Faktorová a primorální prvočísla // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - Sv. 19. - S. 197-203.