Holštýnsko-Primakovova transformace

Holstein-Primakovova transformace je přechod od spinových operátorů k operátorům pro vytváření a anihilaci magnonů (což jsou bosony [1] ). Navrhli to Theodor Holstein (1915-1985, někdy se příjmení píše „Holstein“) a Henry Primakov (1914-1983) [2] v původním článku z roku 1940 [3] .

První Holštýnsko-Primakovova transformace

Při studiu spinových vln se obvykle přechází k cyklickým kombinacím spinových složek . To se provádí následujícím způsobem. Dynamika magnetických momentů (neboli rotací) je popsána Landau-Lifshitzovou rovnicí . Za předpokladu, že feromagnet je umístěn v silném magnetickém poli o síle podél osy z a je blízko nasycení (tj. pro spinové složky délky S , vztahy ${\displaystyle H_{\mathrm {ext} ))$ $S_{z}\approx S$ $S_{x,y}\ll S$

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{ y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{ x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},

kde magnetická anizotropie je zahrnuta v integrálu výměny , g je Landeův faktor a Bohrův magneton . Pro studium spinových vln jsou tyto dvě rovnice napsány pro operátory ${\displaystyle J_{ji))$ $\mu _{B}$

S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},

ve tvaru

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}( S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),

kde i je imaginární jednotka. [čtyři]

V tomto případě je náhradou Holštýnsko-Primakovova (první) transformace

S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right) ^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dagger }\left(1-{\frac {1}{ 2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2},

kde je operátor vzniku spinových excitací ( kvazičástice ), je operátor jejich anihilace. [2] [5] $a_{j}^{\dagger }$ $aj}$

Tato transformace platí při nízkých teplotách, kdy lze počet kvazičástic považovat za malý. Požadavek na diagonalizaci spinového Hamiltoniánu ukazuje, že elementární excitace feromagnetika by měly být spinové vlny (tedy kolektivní excitace), a nikoli spinové odchylky od rovnovážného stavu lokalizované v místech mřížky. [6]

Druhá Holštýnsko-Primakovova transformace

Někdy se hovoří o druhé Holštýnsko-Primakovově transformaci, což znamená přechod k operátorům tvorby a zániku spinových vln Fourierovou transformací operátorů pro kvazičástice a jejich reprezentaci pomocí vlnových vektorů : $aj}$ $a_{j}^{\dagger }$ ${\mathbf k}$

a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N))}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r } _{j)),\quad a_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {N))}\součet _{j}a_{j}^{\ dýka }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.

Nové operátory splňují stejné komutační vztahy jako ty "staré", a proto je lze považovat také za operátory tvorby a anihilace Boseových částic, které jsou však již kolektivizované. Spin Hamiltonian vyjádřený v jejich termínech je diagonalizován a samotné operátory se nazývají operátory anihilace a vytváření spinových vln nebo magnonů . [7] ${\displaystyle a_{\mathbf {k} ))$ $a_{\mathbf {k} }^{\dagger }$

Viz také

Druhá kvantizace

Poznámky

↑ Gurevič, Melkov, 1994 , str. 225.
↑ 12 Rössler , 2009 , str. 173.
↑ T. Holstein, H. Primakoff. Závislost pole magnetizace vnitřní domény feromagnetika // Phys. Rev. - 1940. - T. 58 , č. 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
↑ Rössler, 2009 , pp. 171-172.
↑ Gurevič, Melkov, 1994 , str. 230.
↑ Gurevič, Melkov, 1994 , str. 231-232.
↑ Gurevič, Melkov, 1994 , str. 232-233.

Literatura

Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetické oscilace a vlny. - M. : Fizmatlit, 1994. - 464 s. - 2000 výtisků. — ISBN 5-02-014366-9 .
Davydov A.S. Teorie pevných látek . - M .: Nauka, 1976. - S. 106 -108. — 646 s.
H. Haken. Kvantová teorie pole pevných látek. — M .: Nauka, 1980.
T. Holstein, H. Primakoff. Závislost pole magnetizace vnitřní domény feromagnetika // Phys. Rev. - 1940. - T. 58 , č. 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
Kei Yoshida. Teorie magnetismu. - Springer, 1998. - Sv. 122. - S. 120-125. — 320p. - (Springerova řada ve vědách o pevné fázi). — ISBN 9783540606512 .
Ulrich Rossler. Teorie pevných látek: úvod. — 2. vyd. - Springer, 2009. - 398 s. — ISBN 9783540927617 .