Hankelova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. srpna 2019; kontroly vyžadují 12 úprav .

V matematice je Hankelova transformace řádu funkce dána vzorcem $\nu$ $f(r)$

F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,

kde je Besselova funkce prvního druhu řádu a . Inverzní Hankelova transformace funkce je výraz ${\displaystyle J_{\nu ))$ $\nu ,$ $\nu \geqslant -1/2$ $F_{\nu }(k)$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

které lze zkontrolovat pomocí ortogonality popsané níže.

Hankelova transformace je integrální transformací . Vynalezl ji Hermann Hankel a je známá také jako Bessel-Fourierova transformace.

Rozsah

Hankelova transformace funkce platí pro všechny body na intervalu , ve kterém je funkce spojitá nebo po částech spojitá s konečnými skoky, a integrál $f(r)$ $(0,\infty )$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

konečný.

Je také možné rozšířit tuto definici (podobně jako Fourierova transformace ) tak, aby zahrnovala některé funkce, jejichž integrál je nekonečný (například ). $f(r)=r$

Ortogonalita

Besselovy funkce tvoří ortogonální bázi s váhou : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

pro . $k,k'>0$

Hankelova transformace některých funkcí

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$jeden$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
${\displaystyle r^{m))$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ pro liché m , $0$ pro dokonce m .
${\displaystyle e^{iar))$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)))){(k^{2}-a^{2})^{2))))$
$e^{a^{2}r^{2}/2}$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2))}{a^{2))))$

Viz také

Fourierova transformace

Odkazy

Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A. D. a Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace