Hartleyho transformace

Hartleyova transformace (Hartleyova transformace) - integrální transformace , úzce související s Fourierovou transformací , ale na rozdíl od ní převádí některé reálné funkce na jiné reálné funkce. Transformaci navrhl jako alternativu k Fourierově transformaci R. Hartley v roce 1942 . Hartleyova transformace je jedním z mnoha dobře známých typů Fourierových transformací. Hartleyho transformaci lze také obrátit.

Samostatnou verzi Hartleyovy transformace představil Ronald Bracewellv roce 1983 .

Definice

Přímá konverze

Hartleyova transformace se vypočítá podle vzorce $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

kde

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Hartley jádro .

Reverzní transformace

Inverzní transformace je získána principem involuce :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Upřesnění

Namísto použití stejných vzorců pro dopřednou a inverzní transformaci můžete zadat faktor pro inverzní a vzít stejný faktor z dopředné Hartleyovy transformace. Tento způsob se nazývá asymetrická normalizace ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Koeficient můžete použít místo , koeficient zcela vynechat ; $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Místo jejich součtu můžete použít odčítání kosinus a sinus .

Vztah s Fourierovou transformací

Hartleyho transformace se liší od Fourierovy transformace výběrem jádra .

Fourierova transformace používá exponenciální jádro

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

kde

i

je pomyslná jednotka .

Tyto dvě transformace spolu úzce souvisejí, a pokud mají stejnou normalizaci, pak

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

Pro reálné funkce se Hartleyova transformace změní na komplexní Fourierovu transformaci: $f(t)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

kde

\Re

a jsou skutečnou a imaginární částí funkce.

\Jsem

Vlastnosti

Hartleyova transformace - reálný symetrický unitární lineární operátor

Existuje také analogie teorému o konvoluci : pokud dvě funkce a mají Hartleyovy transformace , pak jejich konvoluce bude mít transformaci. $x(t)$ $y(t)$ $X(t)$ $Y(t)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\vpravo]+X(-\omega )\vlevo[Y(\omega )-Y(-\omega )\vpravo]\vpravo)/2

Stejně jako Fourierova transformace bude Hartleyova transformace sudá nebo lichá funkce v závislosti na povaze transformované funkce.

Cas

Vlastnosti Hartleyho jádra vyplývají z vlastností goniometrických funkcí . Protože

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

pak

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Derivát jádra je

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Literatura

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Archivováno 24. května 2017 na Wayback Machine
Hartley, RVL, Symetričtější Fourierova analýza aplikovaná na přenosové problémy Archivováno 2. června 2008 ve Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, Fourierova transformace a její aplikace (McGraw-Hill, 1965, 2. vyd. 1978, revidováno 1986) (také přeloženo do japonštiny a polštiny)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (také přeloženo do němčiny a ruštiny)
Bracewell, RN, Šablona: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, šablona: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Šablona: Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace