Waringův problém

Waringův problém je číselně teoretický výrok , podle kterého pro každé celé číslo existuje takové číslo , že jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako: $n>1$ $k=k(n)$ $N$

x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad

s nezápornými celými čísly . $x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k$

Jako domněnka navržená v roce 1770 Edwardem Waringem [1] , dokázaná Hilbertem v roce 1909 . Již po důkazu bylo provedeno značné množství studií týkajících se problémů, jak souvisejících s důkazem hlavního problému, tak s různými možnostmi a zobecněními, v nichž byly získány pozoruhodné výsledky a byly vyvinuty důležité metody; v Matematické klasifikaci předmětů je Waringově problému a souvisejícím studiím věnován samostatný oddíl třetí úrovně [2] .

Hlavní výsledky

Až do 20. století bylo možné problém řešit pouze ve speciálních případech, např. pro problém v případě byla stanovena Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců . $k=4$ $n=2$

První důkaz platnosti hypotézy podal v roce 1909 Hilbert [3] , byla velmi objemná a byla založena na složitých analytických konstrukcích včetně pětinásobných integrálů.

V roce 1920 podali nový důkaz stejné věty Hardy a Littlewood , kteří pro to vyvinuli speciální kruhovou metodu [4] . Zavedli dvě funkce - a ; je nejmenší takový, že Waringův problém je řešitelný pro ; je nejmenší takový, že Waringův problém je řešitelný pro . (Je jasné, že .) Hardy a Littlewood dali spodní hranici pro , která v pořádku a konstantní obecně nebyla od roku 2010 vylepšena, a horní hranici, která se od té doby radikálně zlepšila. Tato funkce se od té doby nazývá funkce Hardy. Získali také asymptotický vzorec pro počet řešení Waringova problému. $g(n)$ $G(n)$ $g(n)$ $k$ $N\geqslant 1$ $G(n)$ $k$ $N\geqslant N_0(n)$ $G(n)\leqslant g(n)$ $G(n)$ $n<G(n)$

Jako výsledek studia Waringova problému byly vyvinuty výkonné analytické metody. V roce 1942 však Linnik našel důkaz hlavní věty založený na elementárních metodách [5] .

Funkce je známá. Pro zásadnější funkci byla získána řada horních a dolních mezí, ale její konkrétní hodnoty jsou neznámé ani pro malé . $g(n)$ $G(n)$ $n$

Funkce g ( n )

Johann Euler , syn Leonharda Eulera , navrhl kolem roku 1772 [6] , že:

g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2

Ve 40. letech Leonard Dixon , Pillai ( eng. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai ), Rubugundai ( eng. RK Rubugunday ) a Niven [7] , s přihlédnutím k výsledku Mahlera ( něm . Kurt Mahler ) [8] , dokázali, že jde o true kromě konečného počtu hodnot větších než 471 600 000 . Existuje domněnka, že tento vzorec platí pro všechna přirozená čísla. $n$

Několik prvních hodnot : $g(n)$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, … [9]

Je pozoruhodné, že například pouze čísla 23 a 239 nemohou být reprezentována součtem osmi kostek. $n=3$

Funkce G ( n )

V roce 1924 Vinogradov aplikoval svou metodu trigonometrických součtů na Waringův problém [10] , což nejen značně zjednodušilo důkaz, ale také otevřelo cestu k zásadnímu zlepšení odhadu pro . Po řadě vylepšení v roce 1959 dokázal, že: $G(n)$

G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n

Použitím -adic formy jím zkonstruované kruhové metody Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov na odhady trigonometrických součtů, ve kterých se sčítání provádí přes čísla s malými prvočísly, Karatsuba tento odhad v roce 1985 vylepšil [11] . v : $p$ $n\geqslant 400$

G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n

Odhad byl později vylepšen Wooley , nejprve v roce 1992 [12] , poté v roce 1995 [13] :

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)

Vaughan a Wooley napsali dlouhý přehledný článek o Waringově problému [14] , ve kterém Karatsubův výsledek, publikovaný v roce 1985, souvisí s Vaughanovou publikací z roku 1989 [15] .

Hranice [14]
4 ≤ G (2) ≤ 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 ≤ G (4) ≤ 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Ve skutečnosti je hodnota známá pouze pro 2 hodnoty argumentu, a to a . $G(n)$ $G(2)=4$ $G(4)=16$

Součet čtverců: G(2)

Podle Lagrangeovy věty lze jakékoli přirozené číslo reprezentovat jako součet čtyř druhých mocnin celých čísel. Je také snadné ukázat, že čísla, která dávají zbytek 7 při dělení 8, nemohou být reprezentována jako součet menší než 4 čtverce. Tedy . $G(2)=4$

Součet kostek: G(3)

Je snadné to dokázat . To vyplývá ze skutečnosti, že kostky jsou vždy shodné s 0, 1 nebo −1 modulo 9. $G(3)\geqslant 4$

Linnik to dokázal v roce 1943 [5] . Počítačové experimenty naznačují, že tento odhad lze zlepšit na 4 (tj. ), protože čísla menší než 1,3⋅109 , poslední číslo, které bude vyžadovat šest kostek, je 1 290 740 a počet čísel mezi N a 2N, které vyžadují pět kostek, padá s nárůstem N dostatečně vysokou rychlostí [16] . Největší známé číslo, které nelze vyjádřit jako součet čtyř krychlí, je 7373170279850 a existuje důvod se domnívat, že se jedná o největší takové číslo [17] . Jakékoli nezáporné číslo může být reprezentováno jako 9 kostek a předpokládá se, že největší čísla vyžadující minimálně 9, 8, 7, 6 a 5 kostek jsou 239, 454, 8042, 1 290 740 a 7 373 170 279 850 [ 1 a jejich počet je 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 [18] . $G(3)\leqslant 7$ $G(3)=4$

Součet čtvrtých mocnin: G(4)

Známá hodnota pro je 16. Davenport [19] prokázal tento výsledek ve 30. letech 20. století . $G(4)$

Čísla jako 31 16 n vyžadují alespoň šestnáct čtvrtých mocnin.
Číslo 79 vyžaduje 19 čtvrtých mocnin.
Číslo 13 792 vyžaduje 17 čtvrtých mocnin.

Jakékoli číslo větší než 13 792 může být reprezentováno jako součet nejvýše šestnácti čtvrtých mocnin. Toto bylo dokázáno pro čísla menší než 10245 v roce 2000 [20] , a pro ostatní čísla v roce 2005 [21] zlepšením Davenportova výsledku.

Součet kvint: G(5)

617 597 724 je poslední číslo menší než 1,3⋅10 9 , které by vyžadovalo 10 pětin, a 51 033 617 je poslední číslo menší než 1,3⋅10 9 , které by vyžadovalo 11. Na základě počítačových experimentů existuje důvod se domnívat, že . $G(5)<G(4)$

Kromě přesných hodnot zůstává otevřená i otázka počtu řešení Waringova problému pro dané parametry a omezení. V pracích věnovaných této problematice jsou možné formulace tvaru: "Waringův problém pro 9 kostek s téměř stejnými členy" [22] . $G(n)$

Zobecnění

Waring-Goldbachův problém

Waring-Goldbach problém vyvolává otázku reprezentability celého čísla jako součtu mocnin prvočísel, analogicky s Waringovým problémem a Goldbachovým problémem .

Hua Lo-ken pomocí vylepšených metod Hardy-Littlewooda a Vinogradova získal horní hranici pro počet prvočísel [23] . $O(n^2\log n)$

Na oficiálních stránkách Fakulty mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity se od roku 2014 uvádí, že Čubarikov [24] našel kompletní řešení problému Waring-Goldbach v roce 2009 , nicméně v jediném článku z roku 2009 [ 25] , je uvedeno řešení úlohy, které je pouze v určitém smyslu podobné problému Waring-Goldbach [26] .

Přesnost reprezentace celého čísla jako součtu mocnin

Za zobecnění Waringova problému lze považovat otázku přesnosti reprezentace celého čísla jako součtu mocnin celých čísel, která nebyla vyřešena ani pro stupeň rovný . $2$

Všechna přirozená čísla, s výjimkou čísel ve tvaru , mohou být reprezentována jako . Přirozeně vyvstává otázka: jak blízko se můžete k danému číslu přiblížit součtem dvou druhých mocnin celých čísel? Protože pravá strana této rovnosti má také řád druhé odmocniny , může se jeden čtverec přiblížit na vzdálenost řádu . Proto se k součtu dvou čtverců lze přiblížit na vzdálenost řádově . Můžete se přiblížit? Od dob Eulerových tento problém stojí „bez pohybu“, i když existuje hypotéza, že $4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,$ $x^2+y^2+z^2$ $N$ $(n+1)^2-n^2=2n+1$ $n^{2}$ $N$ $N^{1/2}$ $N$ $N^{1/4}$

\min_{x,\;y\in Z}|Nx^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,

kde je nějaký, . V předchozí argumentaci není možné nahradit libovolně malým pevným , a tento na první pohled jednoduchý úkol od poloviny 18. století nepokročil [27] . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $N\geqslant N_1(\varepsilon)$ $1/4$ $1/4-c$ $c>0$

Vícerozměrná analogie Waringova problému

Ve svých dalších studiích Waringova problému získal Karatsuba [28] [29] dvourozměrné zobecnění tohoto problému. Uvažuje se o následujícím systému rovnic:

x_1^{ni}y_1^i+\ldots+x_k^{ni}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n

kde jsou dána kladná celá čísla, která mají stejné pořadí růstu, a jsou neznámé, ale také kladná celá čísla. Podle dvourozměrného zobecnění je tento systém řešitelný, jestliže , a jestliže , pak existují takové , že systém nemá žádná řešení. $N_{i}$ $N_0\to+\infty$ $x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}$ $k>cn^2\log n$ $k<c_1n^2$ $N_{i}$

Související úkoly

V teorii diofantických rovnic se Waringově problému blíží problémy reprezentace přirozeného čísla jako součtu hodnot polynomu v jedné proměnné a homogenního polynomu v několika proměnných. Je známo, že jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno součtem tří trojúhelníkových čísel a všechna dostatečně velká lichá celá čísla mohou být reprezentována Ramanujanovou tříčlennou kvadratickou formou . Podle Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích a Legendreovy věty o třech čtvercích obě vyžadují součet alespoň čtyř čtverců. $T_{n}={n+1 \vyberte 2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2))$

Konkrétnější problémy lze také nazvat Waringův problém ve vědeckých článcích [30] .

Poznámky

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. - Cambridge, 1770.
↑ 11P05 Waringův problém a varianty // Matematická klasifikace předmětů, 2010 Archivováno 6. června 2014 na Wayback Machine
↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n -ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67 , strany 281-300 (1909)
↑ Hardy GH, Littlewood JE // Nachr. Akad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. Str. 33-54. IV: Matematika. Z., 1922, č. 12, s. 161-188.
↑ 1 2 Linnik Yu.V. Elementární řešení Waringova problému metodou Shnirelman // Math. Sb., 1943, roč. 12, č. 54, s. 218-230.
↑ L. Euler Opera postuma (1), 203-204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. Nevyřešený případ problému Waring // American Journal of Mathematics : journal. - The Johns Hopkins University Press, 1944. - Sv. 66 , č. 1 . - str. 137-143 . - doi : 10.2307/2371901 . — .
↑ Mahler, K. O zlomcích mocnin racionálního čísla II // Matematika : deník. - 1957. - Sv. 4 . - S. 122-124 .
↑ OEIS sekvence A002804 _
↑ Vinogradov I. M. K otázce horní hranice pro G ( n ) // Izv. Akademie věd SSSR. Ser. mat., 1959, vol. 23, č. 5, s. 637-642.
↑ Karatsuba, A. A. O funkci G ( n ) v problému Waring // Izvestiya RAN. Matematická řada. . - 1985. - č. 49: 5 . - S. 935-947 . (Ruština)
↑ Wooley TD Velká vylepšení ve Waringově problému // Ann. matematiky. 135 (1992), 131-164.
↑ Wooley TD Nové odhady pro hladké Weylovy součty // J. London Math. soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ 1 2 Vaughan RC, Wooley TD Waringův problém: Průzkumná teorie čísel pro tisíciletí (neurčité) . — A. K. Peters, 2002. - T. III. - S. 301-340. — ISBN 978-1-56881-152-9 .
↑ Vaughan RC Nová iterační metoda ve Waringově problému // Acta Math. 162 (1989), 1-71.
↑ Nathanson (1996 , s. 71)
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Dodatek od. 7373170279850 // Matematika počítání : deník. - 2000. - Sv. 69 , č. 229 . - str. 421-439 . - doi : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .
↑ 1 2 Władysław Narkiewicz. Racionální teorie čísel ve 20. století: Od PNT k FLT . — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 s. — ISBN 9780857295323 .
↑ Davenport H. // Ann. z matematiky, 1939, č. 40, s. 731-747
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, Francois; Landreau, Bernard. Waringův problém pro šestnáct bikvadrátů - číselné výsledky (neopr.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 2000. - T. 12 . - S. 411-422 . doi : 10.5802 / jtnb.287 .
↑ JM Deshouillers a K Kawada a TD Wooley. O součtech šestnácti bikvadratů (Mémoires de la Société Mathématique de France 100 ) // Société Mathématique de France. — 2005.
↑ Mirzoabdugafurov K. I. The Waring problém pro 9 kostek s téměř stejnými podmínkami Archivováno 6. června 2014 na Wayback Machine . – Disertační práce … kandidát fyzikálních a matematických věd.
↑ Hua Lo Keng Aditivní teorie prvočísel // Translations of Mathematical Monographs, 13 , American Mathematical Society, Providence, RI, 1965, xiii+190 pp.
↑ pověřený děkan Fakulty mechaniky a matematiky Moskevské státní univerzity, vedoucí katedry matematických a počítačových metod analýzy, profesor Vladimir Nikolaevič Chubarikov . Datum přístupu: 31. října 2014. Archivováno z originálu 1. listopadu 2014. (neurčitý)
↑ Chubarikov V.N. K problému Waring-Goldbach // Zprávy Akademie věd. - 2009. T. 427, č. 1, s. 24-27
↑ Recenze: Zbl 1220.11128
↑ Moderní. prob. Mat., 2008, číslo 11, s.22
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Vícerozměrná analogie Waringova problému (neurčitá) // Dokl. Akademie věd SSSR. - 1987. - Č. 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Waringův problém v několika dimenzích (neurčitý) // Matematika. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - č. 42 . - str. 5-6 .
↑ O Waringově problému pro ternární kvadratický tvar a libovolný sudý stupeň

Literatura

Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie" , 1988. - S. 847 .
Elementární metody v analytické teorii čísel. - M .: Fizmatgiz, 1962. - S. 272.
Nathanson, Melvyn B. Aditivní teorie čísel: Klasické základy . - Springer-Verlag , 1996. - Sv. 164. - ( Absolventské texty z matematiky ). — ISBN 0-387-94656-X .
A. Bufetov, A. Ya. Kanel . Nové elementární řešení Waringova problému. - Nadace. a appl. Mat., 3:4 (1997), 1239-1252
B. I. Segal, Trigonometrické součty a některé jejich aplikace v teorii čísel - obsahuje kompletní výklad Hardy-Littlewoodovy metody v ruštině

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Britannica (online)