Odvozený funktor

Můžete převzít odvozené funktory od určitých funktorů a získat další funktory, které jsou úzce spjaty s původními. Tato operace je poměrně abstraktní, ale kombinuje velké množství konstrukcí v matematice .

Motivace

Bylo poznamenáno, že v mnoha situacích krátká přesná sekvence umožňuje zkonstruovat dlouhou přesnou sekvenci. Koncept odvozeného funktoru vysvětluje tato pozorování.

Mezi abelovskými kategoriemi A a B nechť je dán kovariantní levý přesný funktor F : A → B . Jestliže 0 → A → B → C → 0 je krátká přesná posloupnost v A , pak aplikace F dá přesnou posloupnost 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ). Nabízí se otázka: je možné pokračovat v této přesné sekvenci doprava a získat dlouhou přesnou sekvenci? Přísně vzato, tato otázka je nesprávná, protože vždy existuje mnoho různých způsobů, jak pokračovat v dané přesné sekvenci doprava. Ukazuje se však (pokud je A dostatečně "dobré"), že existuje jeden kanonický způsob, jak toho dosáhnout pomocí správných odvozených funktorů funktoru F . Pro každé i ≥1 existuje funktor R i F : A → B a výše uvedená posloupnost pokračuje následovně: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R1F ( C ) → R2F ( A ) → R2F ( B ) → … .

Stavba a první vlastnosti

Klíčový předpoklad, který musíme udělat o abelovské kategorii A , je, že má dostatek injektivních objektů v tom smyslu, že pro jakýkoli objekt A z A existuje monomorfismus A → I , kde I je injektivní objekt A.

Pravé odvozené funktory kovariantního levého exaktního funktoru F : A → B jsou definovány následovně. Začněme objektem X kategorie A . Protože existuje poměrně málo injektivních objektů, můžeme sestavit dlouhou přesnou sekvenci formuláře

0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots ,

kde I i je injektivní (takzvané injektivní rozlišení X ). Aplikováním funktoru F na tuto posloupnost a vyřazením prvního členu dostaneme řetězový komplex

0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots

Všimněte si, že obecně nejde o přesnou sekvenci. Ale můžeme spočítat jeho homologii v i -tém členu (jádro zobrazení z F ( I i ) modulo obraz zobrazení v F ( I i )); výsledek budeme nazývat R i F ( X ). Samozřejmě je třeba zkontrolovat několik věcí: že výsledek nezávisí na volbě injektivního rozlišení X a že jakýkoli morfismus X → Y přirozeně generuje morfismus R i F ( X ) → R i F ( Y ) , takže dostaneme funktor. Všimněte si, že z přesnosti vlevo vyplývá, že 0 → F ( X ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) je přesné, takže R 0 F ( X ) = F ( X ) a dostaneme jen něco zajímavého pro i >0.

(Technicky, aby bylo možné definovat deriváty F , je třeba stanovit injektivní rozlišení pro každý objekt A . Různé volby rezoluce poskytují přirozeně izomorfní funktory, takže na výběru nakonec nezáleží.)

Výše zmíněná vlastnost přeměny krátkých přesných sekvencí na dlouhé sekvence vyplývá z hadího lemmatu . Množina odvozených funktorů tedy tvoří δ-funktor .

Pokud je samotný objekt X injektivní, můžeme zvolit injektivní rozlišení 0 → X → X → 0 a dostat R i F ( X ) = 0 pro všechna i ≥ 1. V praxi tato skutečnost spolu s existencí dlouhé přesná posloupnost, často se používá k výpočtu hodnot správných derivací funktorů.

Variace

Začneme-li s kovariančním správným přesným funktorem G a v kategorii A je dostatek projektivních objektů (tj. pro jakýkoli objekt A kategorie A existuje epimorfismus P → A , kde P je projektivní objekt ), pak obdobně můžeme definovat levo odvozené funktory L i G . Pro objekt X kategorie A zkonstruujeme projektivní rozlišení

\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0,

kde P i jsou projektivní. Aplikujeme G na tuto sekvenci, vypustíme poslední člen a vypočítáme homologii, abychom dostali L i G ( X ). Jako dříve, L ° G ( X ) = G ( X ).

V tomto případě dlouhá přesná sekvence „roste“ doleva, nikoli doprava:

0\to A\to B\to C\to 0

dává

\cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A )\do G(B)\do G(C)\do 0

Levé odvozené funktory na projektivních objektech mizí.

Můžeme také začít s kontravariantem levý exaktní funktor F ; výsledné právo odvozené funktory pak budou také kontravariantní. Krátká přesná sekvence

0\to A\to B\to C\to 0

se změní v dlouhou přesnou sekvenci

0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1 }F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots

Tyto zprava odvozené funktory mizí na projektivních objektech a jsou proto počítány pomocí projektivních rozlišení.

Aplikace

Kohomologie snopů . Jestliže X je topologický prostor , pak kategorie všech svazků abelovských grup na X je abelovská kategorie, ve které je dostatečně mnoho injektivních objektů. Funktor, který asociuje svazek L s globální skupinou sekcí L ( X ), je vlevo exaktní a jeho pravé odvozené funktory jsou funktory svazkové cohomologie, obvykle označované jako H i ( X , L ). Trochu obecněji: jestliže ( X , O X ) je prstencový prostor , pak kategorie všech svazků modulů O X je abelovská kategorie, ve které je dostatek injektivních objektů, a můžeme opět sestavit cohomologii svazků jako správně odvozené funktory funktoru globální sekce.

Funktor Ext . Pokud je R prstenec , pak kategorie všech levých R -modulů je abelovská a je v ní dostatek injektivních objektů. Je-li A pevný levý R -modul, pak je funktor Hom( A ,-) zleva exaktní a jeho pravé odvozené funktory jsou funktory Ext R i ( A ,-).

Funktor Tor . V kategorii levýchR-modulů je poměrně dost projektivních objektů. JestližeA je pevný pravýR-modul, paktenzorový součinsAje pravý přesný kovariantní funktor na kategorii levýchR-modulů; jeho levým odvozeným funktorem jsou funktory Tor R i (A,-).

Skupinová kohomologie . NechťG jeskupina. G -modul M je abelovská grupaMspolu s působením grupyGnaMautomorfismy. To je stejné jako u modulu přesskupinový kruh ZG. G-moduly tvoří abelovskou kategorii, ve které je poměrně dost injektivních objektů. MGoznačujemepodgrupuMsestávající z prvkůMfixovanýchpůsobením G . Jedná se o levý exaktní funktor, jeho pravé odvozené funktory jsou grupové cohomologické funktory, obvykle označované jako H i (G,M).

Literatura

S. I. Gelfand, Yu. I. Manin . Metody homologické algebry. Svazek 1: Úvod do teorie kohomologie a odvozených kategorií. M.: Nauka, 1988. - 416 s.
Weibel, Charles A. Úvod do homologické algebry. Cambridgeská studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4 .