Funktor Ext

Funktory Ext jsou odvozené funktory funktoru Hom . Poprvé se objevily v homologické algebře , kde hrají ústřední roli, jako je teorém univerzálního koeficientu , ale nyní se používají v mnoha různých oblastech matematiky.

Tento funktor se přirozeně objevuje při studiu modulových extenzí . Název pochází z angličtiny. prodloužení - prodloužení.

Motivace: rozšíření modulů

Ekvivalence rozšíření

Nechť A je abelovská kategorie . Podle Mitchellovy věty o vnoření můžeme předpokládat, že pracujeme s kategorií modulů. Rozšíření objektu Z o objekt X je krátká přesná sekvence formuláře

0\to X\to Y\to Z\to 0

Dvě nástavce

0\to X\to Y\to Z\to 0

0\to X\to Y'\to Z\to 0

se říká, že jsou ekvivalentní, pokud existuje morfismus , který vytváří diagram $g:Y\to Y'$

{\begin{matrix}0&\do &X&\do &Y&\do &Z&\do &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\ do &Y'&\do &Z&\do &0\end{matrix}}

komutativní, kde je morfismus identity. Podle hadího lemmatu je g izomorfismus. $\operatorname {id}$

Třída rozšíření Z pomocí X modulo tento vztah ekvivalence tvoří množinu, která se označuje a nazývá množina tříd rozšíření Z pomocí X . $\operatorname {Ext} ^{1}(Z,X)$

Baerův součet

Vzhledem ke dvěma rozšířením

0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0

0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0

lze sestrojit jejich Baerův součet tak, že vláknitý produkt vezmeme v úvahu , $A$

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Zvažujeme faktor

{\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),0)-(0,f'(b))\;|\;b\v B\))

to znamená, že faktorizujeme podle vztahů . Rozšíření $(f(b)+e,e')\sim (e,f'(b)+e')$

0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0

kde první šipka mapuje na a druhá šipka mapuje na , se nazývá Baerův součet rozšíření E a E' . $b$ $[(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ $(e,e')$ $g(e)=g'(e')$

Až do ekvivalence rozšíření je Baerův součet komutativní a triviální rozšíření je neutrální prvek. Přípona inverzní k 0 → B → E → A → 0 je stejná přípona, ve které má jedna ze šipek změněné znaménko, například morfismus g se změní na -g .

Množina rozšíření tedy až do ekvivalence tvoří abelovskou skupinu.

Definice

Nechť R je prstenec a uvažujme kategorii R -modulů R -Mod. Opravíme objekt A kategorie R -Mod a označíme T funktor Hom

T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)

Tento funktor je ponechán exaktní . Má správně odvozené funktory. Ext funktory jsou definovány takto:

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B)

Zejména . $\operatorname {Ext} ^{0}=\operatorname {Hom}$

Duálně lze použít kontravariantní funktor Hom a definovat . Takto definované funktory Ext jsou izomorfní. Lze je vypočítat pomocí injektivního rozlišení B nebo projektivního rozlišení A . $G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)$

Vlastnosti

Extjá
R( A , B ) = 0 pro i > 0, pokud B je injektivní nebo A je projektivní.
Platí to i obráceně: pokud Ext1
R( A , B ) = 0 pro všechna A , pak Extjá
R( A , B ) = 0 pro všechna A a B je injektivní; pokud Ext1
R( A , B ) = 0 pro všechna B , pak Extjá
R( A , B ) = 0 pro všechna B a A je projektivní.
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B{\Bigr )}\cong \prod _{\alpha }\ jméno operátora {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)$
$\operatorname {Ext} _{R}^{n}{\Bigl (}A,\prod _{\beta }B_{\beta }{\Bigr )}\cong \prod _{\beta }\ jméno operátora {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })$
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(A,B)=0$ pro n ≥ 2 pro abelovské skupiny A a B .
$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\mathbb {Z} /p,B)=B/pB$ pro abelovskou skupinu B . To lze použít k výpočtu pro jakoukoli konečně vygenerovanou abelovskou grupu A . $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$
Nechť A je konečně vygenerovaný modul nad komutativním Noetherovým prstencem R . Potom pro libovolnou multiplikativně uzavřenou podmnožinu S , libovolný modul B a libovolné n , . $S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{n}(S ^{-1}A,S^{-1}B)$
Pokud je R komutativní a noetherovské a A je konečně generovaný R -modul, pak jsou následující příkazy ekvivalentní pro jakýkoli modul B a libovolné n :
- $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=0.$
- Pro každý prvočíselný ideál prstenu R , . $\mathfrak{p}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {p}}}^{n}(A_{\mathfrak {p}},B_{\mathfrak {p}})=0$
- Pro každý maximální ideál kruhu R , . $\mathfrak{m}$ $\operatorname {Ext} _{R_{\mathfrak {m}}}^{n}(A_{\mathfrak {m}},B_{\mathfrak {m}})=0$

Literatura

McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Weibel, Charles A. Úvod do homologické algebry. - Cambridge University Press , 1994. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38). - ISBN 978-0-521-55987-4 .