Lemma hada

Hadí lemma  je nástroj používaný v matematice , zejména homologické algebře , ke konstrukci dlouhých přesných sekvencí . Hadí lemma je pravdivé v jakékoli abelovské kategorii a hraje klíčovou roli v homologické algebře a jejích aplikacích, jako je algebraická topologie . Homomorfismy konstruované s jeho pomocí se obvykle nazývají spojovací homomorfismy .

Formulace

V abelovské kategorii (jako je kategorie abelovských skupin nebo kategorie vektorových prostorů nad pevným polem ) zvažte komutativní diagram :

jehož řetězce jsou přesné sekvence a 0 je nulový objekt .

Pak existuje přesná sekvence spojující jádra a kokernely zobrazení a , b a c :

kde d  je homomorfismus, známý jako vazebný homomorfismus .

Navíc, jestliže morfismus f je monomorfismus , pak morfismus  je také monomorfismus, a jestliže g' je epimorfismus , pak u  je epimorfismus.

Název Vysvětlení

Chcete-li vysvětlit původ jména lemmatu, představte si výše uvedený diagram takto:

a všimněte si, že přesná sekvence, jejíž existence je v lemmatu tvrzena, má podobu plazícího se hada.

Mapování budov

Mapování mezi jádry a mapování mezi kokery jsou přirozeně indukována daným (horizontálním) zobrazením díky komutativitě diagramu. Přesnost dvou indukovaných sekvencí přirozeně vyplývá z přesnosti čar původního diagramu. Důležitou součástí tvrzení lemmatu je existence spojovacího homomorfismu d obsaženého v přesné posloupnosti.

V případě abelovských skupin nebo modulů nad nějakým kruhem lze zobrazení d sestavit následovně:

Vybereme prvek x z ker c a považujeme ho za prvek C ; protože g je surjektivní, existuje y z B takové, že g ( y ) = x . Protože je diagram komutativní, máme g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (protože x leží v jádře c ), a proto b ( y ) leží v jádro g' . Protože je spodní řádek přesný, najdeme prvek z A ' takový, že f '( z ) = b ( y ). Prvek z je jedinečný díky injektivitě f '. Definujeme d ( x ) = z + im ( a ). Zbývá zkontrolovat, zda je d dobře definované (to znamená, že d ( x ) závisí pouze na x , nikoli na volbě y ), zda jde o homomorfismus a zda je výsledná posloupnost přesná.

Pokud se tak stane, teorém bude dokázán pro abelovské grupy nebo pro moduly v kruhu. Obecně lze důkaz přeformulovat z hlediska vlastností šípů. Dalším způsobem, jak to dokázat, je použít Mitchellův teorém o vkládání .

Literatura