Přímá částka

Symbol znamená převzetí přímé částky; to je také symbol pro Zemi v astronomii a astrologii a symbol pro exkluzivní nebo operace .

\oplus

Přímý součet je odvozený matematický objekt vytvořený ze základních objektů podle níže definovaných pravidel. Mezi základní patří nejčastěji vektorové prostory nebo abelovské grupy . Existuje také zobecnění této konstrukce pro Banachovy a Hilbertovy prostory .

Přímý součet dvou objektů a je označen , a přímý součet libovolné množiny objektů je označen . V tomto případě se arbitrary nazývá přímým svoláním . $A$ $B$ $A\oplus B$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ $A_{i}$ $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$

Přímý součet konečného počtu podprostorů

O lineárním prostoru se říká, že je přímým součtem jeho podprostorů : $X$ $M_1,\tečky,M_n$

X = M_1\oplus\tečky\oplus M_n,

pokud je každý vektor reprezentován jako součet $x\in X$

x=m_{1}+\tečky +m_{n},\quad m_{i}\in M_{i},\quad (\ast )

a jedinečným způsobem.

Komentář

Poslední podmínka („jedinečným způsobem“) je velmi zásadní. Bez něj dostaneme jen definici součtu podprostorů (označíme ). Z definice lineárního prostoru vyplývá, že podmínka jednoznačnosti rozšíření ( ) pro každý vektor je ekvivalentní podmínce jednoznačnosti rozšíření ( ) pouze pro nulový vektor (pro všechny členy v součtu ( ) ). $X = M_1 +\tečky+ M_n$ $\ast$ $x\in X$ $\ast$ $x=0$ $\ast$ $m_i=0$

Příklady

Trojrozměrný lineární prostor je přímým součtem roviny (tj. dvourozměrného podprostoru) a jakékoli přímky (jednorozměrného podprostoru), která v této rovině neleží, a také přímým součtem libovolných tří přímek. které neleží ve stejné rovině. Trojrozměrný lineární prostor je součtem dvou neshodných rovin, ale není jejich přímým součtem, protože průsečík rovin dává přímku (a proto nulový vektor může být reprezentován nekonečným počtem způsobů: , kde a jsou opačné vektory na tomto řádku). $0=m_1+m_2$ $m_1$ $m_2$

Prostor polynomů stupně nejvýše (v pevném počtu proměnných) lze reprezentovat jako přímý součet , kde je podprostor homogenních polynomů stupně . Pokud v definici odstraníme podmínku homogenity, pak už součet nebude přímý. $n$ $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ $M_{i}$ $i$ $M_{i}$

Přímý součet konečného počtu mezer

Koncept přímého součtu se rozšiřuje na případ, kdy zpočátku nejsou podprostory žádného jediného okolního lineárního prostoru. Aby nedošlo k záměně, přímý součet v tomto smyslu se nazývá vnější přímý součet, zatímco přímý součet podprostorů se nazývá vnitřní přímý součet. $X = M_1\oplus\tečky\oplus M_n$ $M_1,\tečky,M_n$

Dovolit být vektorové prostory nad polem . Nosnou množinu definujeme jako kartézský součin množin a zavedeme na ní vektorové prostorové operace pomocí vzorců $M_1,\ldots M_n$ $K$ $X$ $X = M_1\krát\tečky\krát M_n$

(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) \quad x_i,y_i \in M_i \quad (*)

\alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i \in M_i, \alpha\in K \quad (**)

Pro každý existuje přirozená vložení taková, že je přesně množinou těch vektorů, jejichž všechny souřadnice v přímém součinu, kromě -té souřadnice, jsou rovny nule. Pokud identifikujeme prostory s odpovídajícími podprostory v , každý vektor může být jednoznačně reprezentován jako vnitřní přímý součet . $i$ $f:M_i\to X$ $f(M_i)$ $i$ $M_{i}$ $X$ $x\in X$ $x=m_1+\tečky+m_n,$ $m_i\in M_i,$ $X$ $M_{i}$

Přímý součet modulů v kruhu (a zejména přímý součet abelovských skupin , které jsou moduly v kruhu celých čísel) je definován podobně . $K$

Přímý součet libovolné množiny prostorů

Teprve při uvažování přímého součtu nekonečného počtu prostorů se projevuje jeho odlišnost od přímého součinu těchto prostorů. Nechť je indexovaná rodina vektorových prostorů nad polem , pak jejich přímý součet je množina konečných formálních součtů $M_{i}$ $K$

\sum\limits_{i\in I} x_i, \; x_i\v M_i

s operacemi sčítání po komponentech a s násobením skalárem : $\alpha \v K$

\alpha(\sum_{i\v I} x_i)=\součet_{i\v I} \alpha x_i

Je zřejmé, že součet dvou konečných součtů je opět konečný součet, takže přímý součet je uzavřen pod vektorovými prostorovými operacemi. Pro určení přímého součtu modulů stačí pole nahradit nějakým prstencem. $K$

Vlastnosti přímého součtu

Pokud je vektorový prostor konečnorozměrný, pak . Podobná tvrzení platí pro hodnost abelianské skupiny a délku modulu . $X$ $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$
Sjednocení bází lineárních podprostorů ) je základem . $M_i\;(i=1,\tečky,č$ $X$
Každý vektorový prostor nad polem je izomorfní k přímému součtu nějaké sady kopií . To platí i pro bezplatné moduly . $K$ $K$
Operace přímého součtu dvou prostorů je komutativní a asociativní až do izomorfismu .
Skupina K -lineárních homomorfismů z přímého součtu prostorů je izomorfní k součinu grup homomorfismu ze samostatných prostorů:

\operatorname{Hom}_K\biggl( \bigoplus_{i \in I} M_i,L\biggr) \cong \prod_{i \in I}\operatorname{Hom}_K\left(M_i,L\right).

Zejména prostor duální k přímému součtu prostorů je izomorfní k součinu prostorů duálních ke složkám přímého součtu.

Viz také

Literatura

Bourbaki N. Algebra. Svazek 1. Algebraické struktury. Lineární a multilineární algebra - M.: GIFML, 1962.
Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře, - M.: Nauka, 1971.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie, - M.: Nauka, 1986.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře, - M.: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.