Rovnost (matematika)

  0 jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9
0 • × × × × × × × × ×
jeden × • × × × × × × × ×
2 × × • × × × × × × ×
3 × × × • × × × × × ×
čtyři × × × × • × × × × ×
5 × × × × × • × × × ×
6 × × × × × × • × × ×
7 × × × × × × × • × ×
osm × × × × × × × × • ×
9 × × × × × × × × × •
Rovnost desetinných míst jako binární vztah: • pravda, × nepravda

Rovnost (relace rovnosti) v matematice  je binární vztah , logicky nejsilnější druh vztahu ekvivalence .

Definice rovnosti

Rovnost je intuitivní vztah: význam dvou výrazů je stejný . V jeho formální definici existuje nekonzistence.

Teorie množin podle definice považuje dva objekty (tj. dvě množiny ) za rovnocenné, pokud se skládají ze stejných prvků:

V teoriích s objektovým typováním má vztah rovnosti smysl pouze mezi prvky stejného typu (jinými slovy v rámci určité množiny). Logici (nejprve ve Fregeově predikátové logice , poté v teorii typů) se spoléhali na definici rovnosti podobnou teorii množin, ale zvažující vztahy z jiného úhlu:

To znamená, že pro rovnost dvou objektů je nutné a postačující , aby jakýkoli predikát , který lze sestavit na daném typu, jim dával stejnou booleovskou hodnotu. S touto definicí však nepřišli logici – znal ji dokonce i Leibniz .

Některé formální teorie se vyhýbají definici rovnosti, protože ji považují za původně daný vztah ekvivalence.

Související definice

Formální definice a intuitivní chápání rovnosti se někdy střetávají. Je (celé) číslo 1 rovno (skutečnému) číslu ? Z hlediska intuice ano, ale z hlediska teorie typů je otázka položena nesprávně (srov. s problémem přelévání typů v programování). V matematice se v takových případech předpokládá kanonické vnoření jedné množiny (prostoru, typu) do jiné, větší. Otázku rovnosti celého čísla k reálnému číslu lze chápat jako rovnost vlastního reálného čísla a jiného reálného čísla odpovídající našemu celku. To znamená, že práce s intuitivně „zřejmými“ fakty, jako je každé celé číslo racionální a racionální skutečné, vyžaduje zvláštní výhrady v rámci některých formálních přístupů.

Rovnice je logický příkaz  vytvořený pomocí rovnosti , který obsahuje proměnnou . Určuje podmnožinu předmětné oblasti proměnné - sadu kořenů rovnice.

Definice veličiny nebo proměnné se zapisuje pomocí rovnosti: Nechť se proměnná rovná výrazu.

Identita  je prohlášení, které platí pro všechny hodnoty proměnných. Je často (i když ne nutně) postaven na základě vztahu rovnosti.

Viz také