Radian

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Radian
rád
1 radián je středový úhel, jehož délka oblouku se rovná poloměru kružnice
Hodnota	hodnota úhlu
Systém	SI
Typ	hlavní
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Radián (ruské označení: rad , mezinárodní: rad ; z lat. poloměr - paprsek, poloměr) - úhel odpovídající oblouku , jehož délka se rovná jeho poloměru [1] . Jednotka měření rovinných úhlů v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) , stejně jako v soustavách jednotek ČGS a MKGSS [2] .

Radiánová míra je úhlová míra , ve které je úhel 1 radián považován za jednotku. To znamená, že míra radiánu jakéhokoli úhlu je poměrem tohoto úhlu k radiánu [3] . Z definice vyplývá, že hodnota plného úhlu je 2 π radiány (viz obrázek vpravo).

Míru radiánu můžete také definovat následovně: míra radiánu úhlu je poměr délky oblouku kružnice umístěného mezi stranami úhlu k poloměru této kružnice, když se střed kružnice shoduje s vrchol úhlu . V geometrii, určit radiánovou míru úhlu, kruh jednotky je používán se středem u vrcholu úhlu; pak radiánová míra úhlu je rovna délce oblouku jednotkové kružnice mezi stranami úhlu [4] [5] .

Protože délka kruhového oblouku je úměrná jeho úhlové míře a poloměru, je délka kruhového oblouku s poloměrem R a úhlovou hodnotou α , měřená v radiánech, rovna α ∙ R .

Protože hodnota úhlu, vyjádřená v radiánech, je rovna poměru délky oblouku kružnice ( m ) k délce jejího poloměru ( m ), je úhel v radiánech bezrozměrná veličina .

Radian v mezinárodní soustavě jednotek (SI)

Jako jednotka rovinných úhlů v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) byl radián přijat XI Generální konferencí pro váhy a míry v roce 1960, současně s přijetím systému SI jako celku [6] . V současnosti je v soustavě SI radián kvalifikován jako koherentní [7] bezrozměrná odvozená jednotka SI, která má zvláštní název a označení. Ruské označení - rád , mezinárodní - rad [8] .

Bezrozměrnost plochého úhlu znamená, že jednotkou jeho měření je číslo jedna . Ve vztahu k plochému úhlu však jednotka „jedna“ dostala speciální název „radián“, aby se v každém konkrétním případě usnadnilo pochopení, o jaký druh hodnoty se jedná [9] .

Násobky a dílčí násobky

Desetinné násobky a dílčí násobky radiánu se tvoří pomocí standardních předpon SI , ale používají se zřídka. Takže v miliradiánech, mikroradiánech a nanoradiánech se měří úhlové rozlišení v astronomii. Ve více jednotkách (kiloradiánech atd.) se měří úhlový fázový průnik . Zkratku (rad, rad) základních a odvozených jednotek nezaměňujte se zastaralou jednotkou měření absorbované dávky ionizujícího záření - rad .

Násobky				Dolnye
velikost	titul	označení		velikost	titul	označení
10 1 rad	decaradian	darad	darad	10 −1 rad	deciradian	drad	drad
10 2 rad	hektoradský	kroupy	hrad	10 −2 rad	centiradiánů	srad	crad
10 3 rad	kiloradiánů	ukrást	Krad	10 −3 rad	miliradián	mrad	mrad
10 6 rad	megaradián	Mr	Mr	10 −6 rad	mikroradián	mkrad	µrad
10 9 rad	gigaradský	kroupy	Grad	10 −9 rad	nanoradian	nrad	nrad
10 12 rad	teraradský	Trad	Trad	10 −12 rad	pikoradský	Prad	prad
10 15 rad	petaradian	Prades	Prad	10 −15 rad	femtoradiánský	frad	frad
10 18 rad	exaradian	Erad	erad	10 −18 rad	attoradian	arad	arad
10 21 rad	zettaradský	Zrad	Zrad	10 −21 rad	zeptoradiánský	zrad	zrad
10 24 rad	yottaradský	Irad	Yard	10 −24 rad	iocradian	irad	yrad
doporučeno k použití aplikace se nedoporučuje v praxi nepoužívané nebo zřídka používané

Vztah radiánu k jiným jednotkám

Poměrný vztah radiánu k ostatním úhlovým jednotkám je popsán vzorcem:

1 radián = 1/( 2π ) otáčky = 180/ π stupňů = 200/ π stupňů .

Je zřejmé, že rozvinutý úhel je roven nebo radiánům. Z toho vyplývá triviální vzorec pro převod ze stupňů, minut a sekund na radiány a naopak. $180^{\circ },$ ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$

a [°] = α [rad] × (360° / ( 2π )) nebo α [rad] × (180° / π ), α [rad] = a [°] : (180° / π ) = a [°] × ( π / 180°),

kde α [rad] je úhel v radiánech a a [°] je úhel ve stupních.

1 rad (nebo ) = (pravidlo měmotechnického zapamatování ve stupních-minutách-sekundách: "Počet radiánů a pořadí píšu vtipně zpaměti", kde počet písmen v každém slově je roven odpovídající číslici v hodnotě radiánu záznam, až desetina úhlové sekundy) $p^{\circ }$ ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\přibližně 57{,}295779513^{\circ }\přibližně 57^{\circ }17'44{,}806''$

$p'$ (nebo 1 rad v minutách) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\cca 3437{,}747'$

$p''$ (nebo 1 rad v sekundách) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\cca 206264{,}8''.$

V metrickém systému úhlových měr je pravý úhel rozdělen na 100 stupňů a každý stupeň na 100 centigradů, které se zase dělí na setiny centigradu, takže (nebo 1 rad na setiny „centigradu“) = Prakticky není nutné jej používat, protože metrický systém úhlových mír se ještě nerozšířil.
$p^{{\backprime \backprime ))$ ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$

Abychom si snadněji zapamatovali, jak se radiány převádějí na stupně a naopak, poznamenáváme:
Při převodu radiánů na stupně (nebo minuty nebo sekundy) vytvoříme pojmenované číslo ( ) z abstraktního čísla ( ) , a proto musíme vynásobit nebo ; Převedením stupňů na radiány jméno naopak zničíme: dostaneme abstraktní číslo; takže zde musíte dělit nebo nebo násobit obráceným zlomkem $\mathrm {rad}$ $p^{\circ },p',p''$ $p^{\circ }~($ $p', p'')$
$p^{\circ }~($ $p', p''),$ ${\frac {1}{p^{\circ }}}}~({\frac {1}{p'}}, {\frac {1}{p''}}).$

Příklad 1 Převod na radiány $5^\circ43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}} }~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ [deset]

$43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ [deset]

$46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ [deset]

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ [deset] $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Alternativní metoda zahrnuje převod minut a sekund na desetinné (setiny a desetitisíciny) stupně
a jediné dělení (zpravidla je tato metoda přesnější) $p^{\circ }:$

$46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$

$43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5 {,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

Příklad 2. Převeďte na stupně 1 radián.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{ \boldsymbol {29578}}^{\circ }$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\cca 45''$

Celkový $\cca 57^{\circ }17'45''.$

Tabulka stupňů, radiánů a stupňů

Úhlový stůl [11]

Úhel ve zlomcích celého	stupně	radiány	stupně	Sinus	Kosinus	Tečna
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm {g} }$	$0$	jeden	$0$
${\frac {1}{24}}$	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\frac {\pi }{12}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-\sqrt{3}$
${\frac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {1}{8))$	$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4))$	$50^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$jeden$
${\frac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\sqrt{3}$
${\frac {5}{24}}$	${\displaystyle 75^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4))$	$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2))$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} ))$	$jeden$	$0$	není definovaný
${\frac {7}{24}}$	${\displaystyle 105^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{3))$	$120^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} ))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-jeden$
${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {11}{24}}$	${\displaystyle 165^{\circ ))$	${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{2))$	$180^{\circ }$	$\pi$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} ))$	$0$	-jeden	$0$
${\frac {7}{12}}$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\dfrac {5}{8}}$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} ))$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$jeden$
${\frac {2}{3))$	$240^{\circ }$	${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
${\frac {3}{4))$	$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} ))$	$-jeden$	$0$	není definovaný
${\frac {5}{6))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\sqrt{3}$
${\frac {7}{8))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} ))$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-jeden$
${\frac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$jeden$	${\displaystyle 360^{\circ ))$	$2\pi$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} ))$	$0$	jeden	$0$

Míra radiánu v kalkulu

Při zvažování goniometrických funkcí v počtu , argument je vždy považován za v radiánech, což zjednodušuje zápis; často se však vynechává samotné označení rad ( rad ).

U malých úhlů se sinus a tangens úhlu vyjádřeného v radiánech přibližně rovnají samotnému úhlu (v radiánech), což je vhodné pro přibližné výpočty. Při úhlech menších než , lze aproximaci považovat za správnou až na třetí desetinné místo. Pokud je úhel menší než , pak až na šesté desetinné místo [12] : $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.

Historie

První použití radiánu místo stupně úhlu je obvykle připisováno Rogeru Cotesovi (18. století), který považoval tuto jednotku úhlu za nejpřirozenější [13] . Myšlenku měření délky oblouku poloměrem kružnice však používali i jiní matematici. Například Al-Kashi použil jednotku měření, kterou nazval „ část průměru “, která se rovnala 1/60 radiánu. Používal i menší odvozené jednotky [14] .

Termín „ radián “ se poprvé objevil v tisku 5. června 1873 ve zkušebních dokumentech sestavených Jamesem Thomsonem z Queen 's University Belfast . Thomson použil termín nejpozději v roce 1871, zatímco Thomas Muir z univerzity St. Andrews v roce 1869 kolísal mezi termíny „ rad “, „ radiální “ a „ radián “. V roce 1874 se Muir po konzultaci s Jamesem Thomsonem rozhodl používat termín „radián“ [15] [16] [17] .

Viz také

Poznámky

↑ Radian // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Jednotky množství. Odkaz na slovník. - M . : Nakladatelství norem, 1990. - S. 98. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Vygodsky, 1965 .
↑ Gelfand, Lvovsky, Toom, 2002 .
↑ David E. Joyce. Měření úhlů . Dave's Short Trig Course . Clark University. Získáno 8. září 2015. Archivováno z originálu 7. září 2015.
↑ Rezoluce 12 XI generální konference o vahách a mírách (1960 ) . Mezinárodní úřad pro míry a váhy . Datum přístupu: 19. prosince 2014. Archivováno z originálu 28. července 2012.
↑ Odvozená jednotka měření se nazývá koherentní , pokud je vyjádřena jako součin mocnin základních jednotek měření s faktorem úměrnosti rovným jedné .
↑ GOST 8.417-2002. Státní systém pro zajištění jednotnosti měření. Jednotky množství. (nedostupný odkaz) . Získáno 18. září 2012. Archivováno z originálu 10. listopadu 2012. (neurčitý)
↑ Jednotky pro množství minus množství , množství množství Brožura SI: Mezinárodní soustava jednotek (SI) . Mezinárodní úřad pro míry a váhy (2006). Datum přístupu: 19. prosince 2014. Archivováno z originálu 7. října 2014.
↑ 1 2 3 4 Číslice navíc [za čtvrté desetinné místo] ve vyjádřeních minut a sekund se často zahazují kvůli skutečnosti, že další číslice ve vyjádření stupňů je neznámá, a proto psaní čísel za čtvrtou [uvedeno dolním indexem] je ztráta práce.
↑ Abramowitz & Stegun, 1972 , s. 74, 4.3.46.
↑ $\sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \cca 0{,}100$ $\operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \cca 0{,}100$ (přesnost je porušena na čtvrtém desetinném místě) $\sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \cca 0{,}010000$ $\operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \cca 0{,}010000$ (přesnost není zachována na sedmé desetinné místo)
Proto mají intervaly stupnice (s) na bodovacím pravítku meze a ; pod touto hodnotou (do 0) není žádný graf, protože úhly (v radiánech) se shodují s hodnotami sinusů / tečen pravítkav rámci přesnosti ) $5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46'' )$ $0^\circ34'{,}38 ~ ( \cca 0^\circ34'23'' )$
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Životopis Rogera Cotese . The MacTutor History of Mathematics (únor 2005). Datum přístupu: 3. února 2014. Archivováno z originálu 24. září 2012. (neurčitý)
↑ Lucky, Paul. Der Lehbrrief über den kreisumfang von Gamshid nar. Mas'ud al-Kasi (německy) / Siggel, A.. - Berlín: Akademie Verlag , 1953. - S. 40.
↑ Florian Cajori . Historie matematických notací (neurčité) . - 1929. - T. 2. - S. 147-148. - ISBN 0-486-67766-4 .
↑ Muir, Thos. Termín "Radian" v trigonometrii // Příroda . - 1910. - Sv. 83 , č. 2110 . — S. 156 . - doi : 10.1038/083156a0 . — . Thomson, James. Termín "Radian" v trigonometrii // Příroda . - 1910. - Sv. 83 , č. 2112 . — S. 217 . - doi : 10.1038/083217c0 . — . Muir, Thos. Termín "Radian" v trigonometrii // Příroda . - 1910. - Sv. 83 , č. 2120 . - S. 459-460 . - doi : 10.1038/083459d0 . — .
↑ Miller, Jeff Nejstarší známá použití některých slov z matematiky (23. listopadu 2009). Získáno 30. září 2011. Archivováno z originálu 18. ledna 2021. (neurčitý)

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. - Nauka, 1965. - S. 340-343. — 424 s.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometrie . - M. : MTsNMO, 2002. - S. 7-8. — 199 s. — ISBN 5-94057-050-X .
Abramowitz, M.; Stegun, IA . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština velká čínština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online) Britannica (online)

jednotky SI
Základní jednotky	ampér kandela kelvin kilogram Metr krtek druhý
Odvozené jednotky se zvláštními názvy	becquerel watt weber volt Jindřich hertz stupeň Celsia šedá joule sievert válcované přívěšek luxus lumen newton ohm pascal radián Siemens steradián tesla farad
Přijato pro použití s SI	angstrom astronomická jednotka hektar stupeň oblouku oblouková minuta sekunda oblouku dalton (jednotka atomové hmotnosti) bílý litr neper den hodina minuta tón elektronvolt
viz také	předpony SI Převod jednotek Historie metrické soustavy Metrická konvence z roku 1875 Definice 2005–2019 Redefinice 2019