Série Wiener

Wienerova řada  je ortogonální expanze pro nelineární funkcionály, která úzce souvisí s Volterrovou řadou a má k ní stejný vztah jako ortogonální polynomiální expanze k mocninné řadě. Řada Wiener je diskrétní obdobou řady Volterra.

Wienerova série má formu

Tato řada je v matematické literatuře často označována jako Ito expanze (podle japonského matematika Kiyoshi Ito ), která je jí zcela ekvivalentní.

Historie

Ve dvacátých letech minulého století se Norbert Wiener v rozhovorech se studentem italského matematika Vita Volterry Paulem Levim seznámil s teorií analytických funkcionálů. Wiener, analogicky s Lévyho teorií reprezentující Brownův pohyb ve formě integrálů analytických Volterrových funkcionálů, používá Volterrovu řadu pro přibližnou analýzu účinku radarového šumu v nelineárním obvodu rádiového přijímače.

A. N. Kolmogorov zároveň formuluje problém návrhu optimálního nelineárního prediktivního filtru. Myšlenka je dále rozvinuta v Kolmogorov-Wienerově teorii lineární filtrace [1] [2] .

Na počátku 60. let D. Gabor navrhl univerzální prediktivní filtr se samoladícím procesem učení [3] ; Filtr implementuje algoritmus pro predikci budoucí hodnoty stacionární funkce času z její historie nalezením optimálních váhových koeficientů operátoru rozšířené predikce. Tento operátor je reprezentován diskrétním analogem spojité řady Volterra, řadou Wiener.

Později A. G. Ivakhnenko používá tento přístup a Wienerovy řady v metodě skupinového účtování argumentů a nazývá operátor „Kolmogorov-Gaborův polynom“.

Poznámky

  1. ↑ Kolmogorov A. N.  Interpolace a extrapolace stacionárních náhodných sekvencí // Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Matem., díl 5:1, 1941. - S. 3-14.
  2. ↑ Weiner N. Extrapolační interpolace a vyhlazování stacionárních časových řad. I. Willey, NY, 1949. - 290 s.
  3. ↑ Gabor D., Wilby W. R., Woodcock R. A. Univerzální nelineární filtr, prediktor a simulátor, který se optimalizuje procesem učení // Proc. Inst. elektr. Engrs., sv. 108., část B, č. 40, 1961. - S. 85-98.