Spektrum prstence

Spektrum prstenu v matematice je soubor všech primárních ideálů daného komutativního prstenu . Obvykle je spektrum vybaveno topologií Zariski a svazkem komutativních prstenců, což z něj činí lokálně prstencový prostor . Spektrum kruhu (dále slovo "kruh" znamená "komutativní kruh s jednotkou") je označeno . $R$ $\operatorname{Spec}\, R$

Topologie Zariski

Topologie na spektru prstenu může být představena dvěma rovnocennými způsoby a oba způsoby jsou silně používány v algebraické geometrii .

Základ topologie Zariski

První způsob, jak představit topologii Zariski na spektru kruhu, je specifikovat základ topologie . Báze jsou podmnožiny spektra formy , kde je libovolný prvek prstence . $D_f = \{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: f\notin \mathfrak{p}\}$ $F$ $R$

Následující tvrzení lze snadno ověřit:

D_1 = \operatorname{Spec}\, R

D_f\cap D_g = D_{fg}

Z těchto vzorců vyplývá, že rodinou všech podmnožin formuláře je spektrum pokrývající , uzavřené pod průniky, to znamená, že je základem nějaké topologie. $D_f$

Spektrum prstenu obecně není Hausdorffův prostor . Na druhou stranu spektrum jakéhokoli prstence splňuje separační axiom T 0 a je kompaktní .

K prokázání kompaktnosti postačí ověřit, že z pokrytí podkladovými prvky lze zvolit konečnou podvrstvu. Pokud je množinový systém pokrytím spektra, znamená to, že ideál kruhu R generovaný množinou A obsahuje identitu. To znamená, že rovnost je pravdivá: , ve kterém jsou prvky množiny A a jsou některé prvky kruhu R. Pak je ale požadované konečné podkrytí spektra. Kompaktnost sad je prokázána obdobně . (Je třeba poznamenat, že při absenci Hausdorffness nemusí být kompaktní podmnožina uzavřena!) $\{D_f: f\in A\}$ $1 = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots + k_na_n$ $a_{i}$ $k_i$ $\{D_{f_1},D_{f_2},\cdots,D_{f_n}\}$ $D_f$

Definice z hlediska uzavřených podmnožin

Druhým způsobem, jak zavést Zarisského topologii na spektru kruhu, je specifikovat všechny uzavřené podmnožiny . Uzavřené množiny spektra jsou množiny tvaru:

V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}

, kde je libovolný (ne nutně jednoduchý) ideál prstenu .

\mathfrak{a}

R

Následující vzorce lze snadno ověřit:

V(\mathfrak{a})\pohár V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})

, kde je součin odpovídajících ideálů,

\mathfrak{a} \mathfrak{b}

\cap_{\alpha}V(\mathfrak{a_{\alpha))) = V(\sum_{\alpha}\mathfrak{a_{\alpha)))

V((0)) = \operatorname{Spec}\, R

V((1)) = \varnonic

z čehož vyplývá, že rodina množin formy splňuje axiomy systému všech uzavřených množin topologického prostoru. Otevřené sady jsou doplňky k těmto sadám. $V(\mathfrak{a})$

S takovým popisem topologie je snadné vidět, že pokud jsou dva prvočíselné ideály, pak bod leží v uzavření bodu . Uzavřené body v topologii Zariski jsou tedy maximální ideály a pouze ony. $\mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_1$

Ekvivalence topologií

K prokázání ekvivalence definic z hlediska báze topologie a z hlediska uzavřených množin stačí zkontrolovat vzorce:

V(\mathfrak{a})^c = \cup_{f\in \mathfrak{a}}D_f

{\displaystyle D_{f}=V((f))^{c))

, kde označuje doplněk množiny a je ideálem generovaným prvkem .

V^c

PROTI

(F)

F

První z těchto vzorců znamená, že podmnožina spektra, která je otevřená vzhledem k druhé topologii, je také otevřená v první, a druhý znamená, že všechny množiny, které tvoří základ první topologie, jsou otevřené ve druhé. (a proto jsou všechny svazy těchto množin také otevřené) .

Konstrukční nosníky a schémata

Strukturní svazek na spektru je definován následovně: každá otevřená sada od báze je spojena s lokalizací prstence v multiplikativním systému . Prvky této lokalizace jsou formální zlomky formy , tedy stupeň . V souladu s tím je otevřená sada spojena s lokalizací pomocí multiplikativního systému generovaného pomocí . $D_f$ $R$ $\{1, f, f^2, f^3, \tečky \}$ $p/q$ $q$ $F$ $\cup_i D_{f_i}$ $f_{i}$

Stejnou otevřenou sadu lze znázornit mnoha způsoby, lze však ukázat, že lokalizace prstence nezávisí na volbě takového znázornění a lze také ověřit, že všechny ostatní vlastnosti snopu drží. $\cup_i D_{f_i}$

V případě, že jde o integrální prstenec s polem kvocientů , lze strukturní svazek popsat konkrétněji. Prvek je řekl, aby byl pravidelný v bodě jestliže to může být reprezentováno jako zlomek jehož jmenovatel nepatří k . V souladu s tím je otevřená množina spojena se sadou prvků pravidelných v každém bodě ; lze zkontrolovat, že tato množina je uzavřena při sčítání a násobení, to znamená, že tvoří prstenec. Konstrukce map omezení je v tomto případě také zjevnější: jestliže , pak prvek podílového pole, který je pravidelný v každém bodě , je také pravidelný v každém bodě . $R$ $K$ $f/g\in K$ $\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R$ $f/g$ $\mathfrak{p}$ $U$ $K$ $U$ $U'\subset U$ $U$ $U'$

Vlákno výsledného svazku se v bodě shoduje s lokalizací prstence podle prvoideálu , tento prsten je lokální . Proto je spektrum prstence skutečně lokálně prstencovým prostorem. $\mathcal O$ $\mathfrak{p}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R$ $\mathfrak{p}$

Místně zakroužkovaný prostor, který lze získat tímto způsobem, se nazývá afinní schéma . Obecná schémata se získají „slepením“ několika afinních schémat.

Funkčnost

Každému kruhovému homomorfismu odpovídá spojité zobrazení spekter (v opačném směru) . Ve skutečnosti je předobrazem primárního ideálu v akci primárním ideálem. Abychom dokázali spojitost tohoto zobrazení, stačí dokázat, že inverzní obraz uzavřené množiny je uzavřený. To vyplývá z rovnosti $\varphi: A\to B$ $\varphi^*:\operatorname{Spec}\, B \to \operatorname{Spec}\, A$ $\mathfrak p\in B$ $\varphi$

(\varphi^*)^{-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\varphi(\mathfrak{a}))

, kde je libovolný ideál prstenu .

\mathfrak{a}

A

Z toho vyplývá, že jde o kontravariantní funktor z kategorie komutativních okruhů do kategorie topologických prostorů. Navíc mapa pro každý indukuje homomorfismus místních prstenců $\operatorname{Spec}$ $\varphi$ $\mathfrak p\in B$

\mathcal O_{f^{-1}(\mathfrak p)}\to \mathcal O_{\mathfrak p}

Definuje tedy kontravariantní funktor v kategorii lokálně kroužených prostorů. Obrazem tohoto funktoru jsou přesně afinní schémata, takže kategorie komutativních okruhů je (kontravariančně) ekvivalentní kategorii afinních schémat. $\operatorname{Spec}$

Motivace z algebraické geometrie

V algebraické geometrii se studují algebraické variety , tj. podmnožiny prostoru (kde je algebraicky uzavřené pole ), dané jako společné nuly určitého souboru polynomů v proměnných. Pokud je taková algebraická varieta, zvažte komutativní okruh polynomiálních funkcí . Potom maximální ideály prstence odpovídají bodům odrůdy a primární ideály odpovídají všem neredukovatelným pododrůdám (odrůda je považována za neredukovatelnou, pokud nemůže být reprezentována jako spojení dvou menších variet). Uzávěr podvariety se navíc skládá ze všech jejích bodů a podvariet. Navíc svazek na spektru definovaném výše se ve skutečnosti shoduje se svazkem racionálních funkcí na algebraické odrůdě . $K^n$ $K$ $n$ $A$ $A až K$ $R$ $A$ $A$ $A$

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. — M.: Mir, 1972.
Hartshorne , Algebraická geometrie - M.: Mir, 1981.
Mumford , Červená kniha odrůd a schémat - M.: MTsNMO, 2007.