Grothendieck spektrální sekvence

Grothendieck spektrální posloupnost je spektrální posloupnost , která vypočítává odvozené funktory složení funktorů z odvozených funktorů F a G . $G\circ F$

Jestliže a jsou aditivní levé přesné funktory mezi abelovskými kategoriemi , tak, že převezme injektivní objekty na -acyklické (tedy ty, na kterých funktory zmizí , když ) a pokud je dostatek injektivních objektů v , pak pro každý objekt kategorie , který má injektivní rozlišení, existuje přesná sekvence: $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ $F$ $G$ $R^{p}G$ $p>0$ ${\mathcal {B}}$ $A$ $\mathcal{A}$

E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R }}^{p+q}(G\circ F)(A).

Mnoho spektrálních sekvencí v algebraické geometrii je speciálními případy Grothendieckovy spektrální sekvence, jako je Lerayova spektrální sekvence .

Příklady

Leray spektrální sekvence

Jestliže a jsou topologické prostory , nech $X$ $Y$

{\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)

a jsou kategorie svazků abelovských skupin na X a Y , v tomto pořadí, a

{\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)

{\mathcal {C}}=\mathbf {Ab}

je kategorie abelovských skupin.

Pro nepřetržité zobrazování

f:X\to Y

existuje (zleva přesný) funktor přímého obrazu

f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)

Máme také globální sekční funktory

\Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}

\Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .

Od té doby

\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}

a funktory a splňují předpoklady věty (protože funktor přímého obrazu má věrný levý adjoint , přímé obrazy injektivních svazků jsou injektivní a zejména acyklické pro funktor globální sekce), má spektrální posloupnost tvar: $f_{*}$ $\Gamma _{Y}$ $f^{-1}$

H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal { F))

pro svazek abelovských skupin na , a to je přesně Lerayova spektrální sekvence. ${\mathcal {F}}$ $X$

Spektrální sekvence lokálních a globálních Ext

Existuje spektrální sekvence spojující globální Ext a svazek Ext: nechť F , G jsou svazky modulů v prstencovém prostoru ; například schéma . Pak $(X,{\mathcal {O}})$

E_{2}^{p,q}=\jméno operátora {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G) )\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).

[jeden]

Toto je zvláštní případ Grothendieckovy spektrální sekvence: skutečně,

R^{p}\Gamma (X,-)=\název operátora {H} ^{p}(X,-)

a . _

R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F ,-)

R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\jméno operátora {Ext} _{\mathcal {O}}^{ n}(F,-)

Navíc mapuje injektivní -moduly na ochablé svazky, [2] které jsou -acyklické. Proto jsou předpoklady splněny. ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ $\mathcal{O}$ $\Gamma (X,-)$

Poznámky

↑ Godeman, 1961 , Kapitola II, Věta 7.3.3.
↑ Godeman, 1961 , Kapitola II, Lemma 7.3.2.

Literatura

R. Godeman. Algebraická topologie a teorie svazků. — M. : IN, 1961.
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Druhá řada , svazek 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Weibel, Charles A. Úvod do homologické algebry. Cambridgeská studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4 .